Wurzel

Wurzeln kann man sowohl aus Zahlen als auch aus Termen ziehen. Aber auch beim Lösen von Gleichungen sind Wurzeln sehr wichtig. Das Ziehen von Quadratwurzeln ist die Umkehroperation zum Quadrieren.

Wurzelziehen aus Zahlen

Das Berechnen der Wurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.

Die Quadratwurzel

Die Quadratwurzel einer Zahl $a$ ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um $a$ zu erhalten.

Die Quadratwurzel einer Zahl ist immer eine positive reelle Zahl oder 0 !

Dabei bezeichnet man die Zahl unter dem Wurzelzeichen als Radikand. Dieser ist immer positiv oder 0.

Beispiele

1. $\sqrt4=2$, denn $2^2=4$.

   Achtung: $(-2)\cdot(-2)=4$, aber die Quadratwurzel einer Zahl ist immer positiv oder 0.

2. $\sqrt9=3$, denn $3^2=9$.

3. $\sqrt{81}=9$, denn $9^2=81$.

4. $\sqrt{-3}$ existiert nicht, denn der Radikand ist negativ.

Höhere Wurzeln

Es gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch sogenannte höhere Wurzeln. Mehr dazu findest du im Artikel höhere Wurzel.

Quadratwurzel aus Termen

Man kann Wurzeln nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Termen ziehen. Auch hier muss man beachten, dass der Radikand (= das was unter der Wurzel steht) nicht negativ wird. Und genauso wie bei Quadratwurzeln von Zahlen ist die Quadratwurzel von Termen immer positiv oder 0.

Beispiele

Definitionsmenge

Beim Wurzelziehen aus Termen muss man darauf achten, dass der Radikand nicht negativ wird. Das heißt, man muss den Definitionsbereich beachten.

Wurzeln und der Betrag

Steht unter der Wurzel ein Term, so muss man beim Radizieren den Betrag berücksichtigen, damit immer ein positiver Ausdruck herauskommt.

Beispiele

Vorgehensweise

Rechenregeln

"Rationalmachen" des Nenners

Ist eine Zahl gegeben durch $\frac a{\sqrt b}$ , dann kann man diese Zahl mit $\sqrt b$ erweitern , um die Wurzel aus dem Nenner wegzubekommen. Die Rechenschritte sind folgende:

$\frac a{\sqrt b}=\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\cdot\sqrt b}{\sqrt b\cdot\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}b$ .

Wurzelziehen in Gleichungen

Verwendet man Wurzeln um Gleichungen zu vereinfachen, muss man aufpassen, dass man manche Lösungen nicht verliert! Deshalb muss man auch hier den Betrag verwenden.

Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen:

$x_1=2$ und $x_2=-2$

Hätte man die Betragsstriche nicht verwendet, wäre die Lösung nur $x=2$ gewesen. Man hätte also die Lösung $x=-2$ verloren!

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