Wurzel

Wurzeln kann man sowohl aus Zahlen, als auch aus Termen ziehen. Aber auch beim Lösen von Gleichungen sind Wurzeln sehr wichtig. Das Ziehen von Quadratwurzeln ist die Umkehroperation zum Quadrieren.

Wurzelziehen aus Zahlen

Das Berechnen der Wurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.

Die Quadratwurzel

Die Quadratwurzel einer Zahl aa ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um aa zu erhalten. Die Quadratwurzel einer Zahl ist immer eine positive reelle Zahl oder 0 !
Warum ist die Quadratwurzel immer eine positive Zahl?
Betrachtet man das Beispiel 4\sqrt4 , dann ist die Quadratwurzel diejenige Zahl, welche man quadrieren muss um 4 zu erhalten. Offensichtlich löst 2 das Problem. Aber auch -2 wäre prinzipiell eine sinnvolle Lösung, denn (−2)⋅(−2)=(−2)2=4(-2)\cdot(-2)=(-2)^2=4. Warum ist also (-2) nicht die Quadratwurzel von 4? Dies liegt daran, dass die Quadratwurzel auch als Funktion definiert werden kann bzw. soll. Eine Funktion ordnet jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau eine Zahl aus der Wertemenge zu. Deshalb definert man die Quadratwurzel immer als eine positive Zahl (oder 0), sodass die Quadratwurzel eindeutig ist.
Die Quadratwurzel einer Zahl soll immer positiv sein, weil man einen eindeutigen Ausdruck haben möchte.
Die Quadratwurzel von a schreibt man so:
 \,
a2\displaystyle \sqrt[2]a
oder kurz:
a\displaystyle \sqrt a
Dabei bezeichnet man die Zahl unter dem Wurzelzeichen als Radikand. Dieser ist immer positiv oder 0.

Beispiele

  1. 4=2\sqrt4=2, denn 22=42^2=4. Achtung: (−2)⋅(−2)=4(-2)\cdot(-2)=4, aber die Quadratwurzel einer Zahl ist immer positiv.
  2. 9=3\sqrt9=3, denn 32=93^2=9.
  3. 81=9\sqrt{81}=9, denn 92=819^2=81.
  4. −3\sqrt{-3} existiert nicht, denn der Radikand ist negativ.
Zusatzinfo zu Beispiel 4:
In den komplexen Zahlen existiert diese Zahl.

Höhere Wurzeln

Es gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch sogenannte höhere Wurzeln. Mehr dazu findest du im Artikel höhere Wurzel.

Quadratwurzel aus Termen

Man kann Wurzeln nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Termen ziehen. Auch hier muss man beachten, dass der Radikand (= das was unter der Wurzel steht) nicht negativ wird. Und genauso wie bei Quadratwurzeln von Zahlen ist die Quadratwurzel von Termen immer positiv oder 0.

Beispiele

  1. 5x+8\sqrt{5x+8}
  2. (a+2)2\sqrt{(a+2)^2}
  3. −x−7-\sqrt{x-7}

Definitionsmenge

Beim Wurzelziehen aus Termen muss man darauf achten, dass der Radikand nicht negativ wird. Das heißt, man muss den Definitionsbereich beachten.
Beispiele

Wurzeln und der Betrag

Steht unter der Wurzel ein Term, so muss man beim Radizieren den Betrag berücksichtigen, damit immer ein positiver Ausdruck herauskommt.

Beispiele

x2=∣x∣\sqrt{x^2}=\left|x\right|
Erklärung
Würde man den Betrag nicht setzen, also als Ergebnis schreiben x2=x\sqrt{x^2}=x, könnte man für xx auch negative Zahlen einsetzen (da der Definitionsbereich ganz R\mathbb{R} ist). Dann wäre aber die Quadratwurzel negativ, was aber verboten ist. Durch die Verwendung des Betrags kann man alle Zahlen des Definitionsbereichs einsetzen (also auch die negativen) und bekommt trotzdem nur positive Zahlen (oder 0) heraus.
(x)2=x\left( \sqrt{x} \right)^2=x
Erklärung
Warum kann man hier die Betragsstriche weglassen? Natürlich wäre hier die Lösung (x)2=∣x∣\left(\sqrt x\right)^2=\left|x\right| auch richtig. Allerdings kann man hier den Betrag weglassen, da die Definitionsmenge nur aus den positiven reellen Zahlen besteht. Man darf also für xx gar keine negativen Zahlen einsetzen! Somit sind die Betragsstriche überflüssig.

Vorgehensweise

Allgemein
Am Beispiel 6x2\sqrt{6x^2}
1. Bestimme zuerst die Definitionsmenge für den Radikand.
Der Radikand ist 6x26x^2. Dieser wird nie negativ, da die Variable xx quadriert wird und somit der Ausdruck immer positiv (oder 0) wird. Deshalb ist die Definitionsmenge ganz R\mathbb{R}, also alle positven und negativen Zahlen.
2. Radizieren und Betragsstriche setzen.
∣6⋅x∣\left|\sqrt6 \cdot x\right|
3. Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann. Sie können weggelassen werden, wenn der Term in den Betragsstrichen immer positiv oder 0 wird, falls man alle Zahlen aus der Definitionsmenge einsetzt.
Würde man für xx negative Werte einsetzen (diese sind ja in der Definitionsmenge), würde man in den Betragsstrichen den Ausdruck −6⋅x-\sqrt6\cdot x erhalten. Dann wäre aber die Quadratwurzel negativ. Deshalb darf man die Betragsstriche nicht weglassen.
Beispielaufgaben
Für welche xx-Werte ist diese Gleichung richtig?

Rechenregeln

Allgemein

Beispiel

  1. a  ⋅  b=ab\sqrt a\;\cdot\;\sqrt{\mathrm b}=\sqrt[{}]{\mathrm{ab}}
  2. ab=ab\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac {a}{b}}
  3. a2=∣a∣\sqrt{a^2}=\left|a\right|
  4. (a)2=a\left( \sqrt {a} \right)^2= a
  5. a⋅a=a\sqrt a\cdot\sqrt a=a
  6. a=a12\sqrt a = a^{\frac12}
  1. 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3
  2. 364=364=9=3\frac{\sqrt{36}}{\sqrt4}=\sqrt{\frac{36}4}=\sqrt9=3
  3. (−2)2=∣−2∣=2\sqrt{\left(-2\right)^2}=\left|-2\right|=2
  4. (21)2=21\left(\sqrt {21} \right)^2=21
  5. 3⋅3=3\sqrt3\cdot\sqrt3=3
  6. 17=1712\sqrt{17} =17^{\frac12}
Beispielaufgaben

"Rationalmachen" des Nenners

Ist eine Zahl gegeben durch ab\frac a{\sqrt b} , dann kann man diese Zahl mit b\sqrt b erweitern , um die Wurzel aus dem Nenner wegzubekommen. Die Rechenschritte sind folgende:
ab=ab⋅bb=a⋅bb⋅b=abb\frac a{\sqrt b}=\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\cdot\sqrt b}{\sqrt b\cdot\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}b .
Beispielaufgaben

Wurzelziehen in Gleichungen

Verwendet man Wurzeln um Gleichungen zu vereinfachen, muss man aufpassen, dass man manche Lösungen nicht verliert! Deshalb muss man auch hier den Betrag verwenden. Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen:
x2=4x^2=4
∣…|\sqrt{…}
Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
x2=4\sqrt{x^2}=\sqrt4
Ziehe nun auf beiden Seiten nach den obigen Rechenregeln die Wurzel.
∣x∣=2\left|x\right|=2
Hier ist besonders wichtig, dass man den Betrag nicht vergisst. Löse nun den Betrag auf.
x1=2x_1=2 und x2=−2x_2=-2
Hätte man die Betragsstriche nicht verwendet, wäre die Lösung nur x=2x=2 gewesen. Man hätte also die Lösung x=−2x=-2 verloren!
Beispielaufgaben

Video

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Kommentieren Kommentare
1
Zu article Wurzel:
wolfgang 2019-09-09 08:32:34+0200
Ich finde die Beispielaufgaben unter Rechenregeln sind zu komplex. Hier muss man fasst überall zuerst binomische Formeln anwenden , um dann die Rechenregeln zu benutzen. Hier würde ich mir zuerst ein paar Aufgaben wünschen, bei den man ohne Zwischenschritt die Regeln anwenden kann, um so etwas Sicherheit zu bekommen.
michi_ 2019-09-09 12:38:25+0200
Hi Wolfgang,
ich stimme dir voll zu :). Die Beispielaufgaben sind teilweise viel zu schwierig und fragen auch nicht alle Rechenregeln passend ab.
Wir sollten mehr einführende Aufgaben mit einfachen Zahlen ergänzen und ggf. ein paar der derzeit vorhandenen Aufgaben entfernen, da sie in diesem Artikel zu weit führen.
Ich kann es leider nicht bearbeiten, aber hoffe, dass sich zeitnah jemand dafür verantwortlich fühlt :).
wolfgang 2019-09-11 13:45:26+0200
Danke für das Hinzufügen der einfacheren Aufgaben :-)
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Zu article Wurzel:
ZenGorilla 2019-09-06 13:23:52+0200
Sollte hier der V ollständigkeit halber noch (Wurzel aus x)^2=x bei den Rechenregeln mit aufgenommen werden? Wird im Abschnitt über den Betrag noch erwähnt, bei den Regeln aber nicht mehr.
wolfgang 2019-09-07 12:52:55+0200
Hallo ZenGorilla,
die "Rechenregel" %%\sqrt(x)^2=x%% gilt nur für alle positiven Zahlen, da man ja z.B. %%-1%% nicht in die Wurzel einsetzen darf. Alle anderen Rechenregeln gelten ja für alle (reellen) Zahlen. Deshalb würde ich die Regel nicht hinzufügen. Was denkst du dazu?

Liebe Grüße
Wolfgang
ZenGorilla 2019-09-08 05:10:49+0200
Warum muss ich nicht bei den anderen Rechenregeln ebenfalls den Definitionsbereich beachten?
wolfgang 2019-09-09 08:28:18+0200
Guter Punkt. Da war ich etwas zu ungenau. Ich hatte es mit der Regel %%\sqrt{x^2}=|x|%% verglichen, welche in der Tat die Einzige ist, die für alle reellen Zahlen gilt.
Unter diesem Aspekt macht es absolut sind die Regel %%(\sqrt x )^2=x%% auch mit dazu zu nehmen. Das habe ich jetzt gemacht. :-)

Liebe Grüße
ZenGorilla 2019-09-12 06:27:05+0200
Super, danke!
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Zu article Wurzel:
Rebi 2017-08-14 10:43:53+0200
In dem Artikel fehlt eine Erklärung zum Wurzel vereinfachen komplett, das wird nur in dem Video erklärt.
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Zu article Wurzel: Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-07-25 12:08:48+0200
Hallo Serlo-Team,
ich habe ein paar Anmerkungen zu diesem Artikel.

- Im ersten Abschnitt wird nur darauf Fokus gelegt, dass das Ergebnis des Wurzelziehens positiv ist. Man sollte viel stärker betonen, dass die zweite Wurzel nur von positiven Zahlen gezogen werden kann!

- Die Erklärung warum die Wurzel immer positiv ist lautet bis jetzt grob gesprochen "weil man das so festgelegt hat". Die Leser dieses Artikels werden allerdings mit dem Funktionsbegriff konfrontiert (und höchstwahrscheinlich auch verwirrt), weshalb man meiner Meinung nach den Spoiler weglassen sollte.

- Die Zusatzinformation zum vierten Beispiel (mit den Komplexen Zahlen) finde ich auch unpassend. Wenn man unbedingt erklären will, dass man die komplexen Zahlen hat um eben solche Wurzeln ziehen zu können sollte man diesen Zusatz vielleicht etwas mehr ausformulieren (Der Spoiler wirft bei mir nur die Frage auf "Welche Zahl?").

- Der Unterabschnitt "Definitionsmenge" gehört meiner Meinung nach auch nicht hier, in diesem Artikel geht es ja nur um die Wurzel als arithmetische Operation und nicht um Funktionen.

- Die Aufgabenstellung im Abschnitt "Wurzel und der Betrag" verlangt, dass man im Artikel das Wort "definiert" (besser gesagt "nicht definiert") erwähnt. Wann sind denn Wurzelausdrücke nicht definiert? (eng verbunden mit meiner ersten Anmerkung)

- Die Überschrift " "Rationalmachen" des Nenners" ist nicht passend, da dort nie erklärt wird was mit "Rationalmachen" gemeint war.

- Den Aufgaben in diesem Abschnitt fehlt die Aufgabenstellung.

Das wars auch meinerseits.
Viele Grüße und schönen Start in die Woche
Sebastian
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Zu article Wurzel: Grund für die Änderungen in diesem Artikel?
Renate 2014-08-28 20:33:26+0200
Ich vermute, dass die Änderungen in diesem Artikel damit zusammenhängen, dass du Formelcode zu Beginn des Artikels vermeiden wolltest, und dass der Begriff "Quadratwurzel" etwas weniger gebräuchlich ist als einfach nur "Wurzel" (und du ihn deshalb nicht mehr als Titel verwendet hast).

Beide Argumente mögen durchaus einen Sinn haben.

Aber ich meine dennoch, dass wir folgende Punkte noch berücksichtigen sollten:

- Wir sollten nicht einfach zu Beginn im ersten Satz den Begriff "Wurzel" einfach verwenden und damit mehr oder weniger voraussetzen, zumal er ja eigentlich gerade in diesem Artikel weiter unten erklärt wird. Entweder muss es für solch einen Begriff einen eigenen Artikel geben, zu dem dann hier verlinkt wird, oder man muss eben doch mit der Erklärung / Definition des Begriffs anfangen.

- Wenn es im zweiten Satz heißt, dass das Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens ist, dann sind mit "Wurzeln" in diesem Artikel offensichtlich nur Quadratwurzeln gemeint. Dann aber darf der Link "Höhere Wurzeln" in diesem Artikel nicht einfach unkommentiert irgendwo stehen, schon gar nicht in einer Formatierung, die den Eindruck erwecken könnte, es handle sich um eine Überschrift für das Nachfolgende.

- Die Titeländerung finde ich nicht gelungen. Es geht in diesem Artikel um die Definition der (Quadrat-)Wurzel und zum Teil auch um das Rechnen mit Wurzeln. Aber wie man eine Wurzel "ziehen" kann (Intervallschachtelung? Andere Verfahren?) ist in keiner Weise Gegenstand des Artikels, und wohl auch nicht gemeint.
Hannes 2014-08-29 07:40:35+0200
Ich stimme dir eigentlich überall zu. Die Änderung dieses Artikel ist noch nicht annähernd abgeschlossen. Dafür nehme ich mir nächste Woche Zeit!
Wir hatten diesen Artikel überarbeitet, weil er so wie er bisher war ein Idealbeispiel eines schlechten Artikels war, den wir als Demonstration für unsere Praktikante verwendeten.
Ich werde mich in der nächsten Woche um den Abschluss der Änderung kümmern.
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