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Wurzel

Wurzeln kann man sowohl aus Zahlen als auch aus Termen ziehen. Aber auch beim Lösen von Gleichungen sind Wurzeln sehr wichtig. Das Ziehen von Quadratwurzeln ist die Umkehroperation zum Quadrieren.

Wurzelziehen aus Zahlen

Das Berechnen der Wurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.

Die Quadratwurzel

Die Quadratwurzel einer Zahl aa ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um aa zu erhalten. Die Quadratwurzel einer Zahl ist immer eine positive reelle Zahl oder 0 !

Die Quadratwurzel von a schreibt man so:

 \,

oder kurz:

Dabei bezeichnet man die Zahl unter dem Wurzelzeichen als Radikand. Dieser ist immer positiv oder 0.

Beispiele

  1. 4=2\sqrt4=2, denn 22=42^2=4. Achtung: (−2)⋅(−2)=4(-2)\cdot(-2)=4, aber die Quadratwurzel einer Zahl ist immer positiv oder 0.

  2. 9=3\sqrt9=3, denn 32=93^2=9.

  3. 81=9\sqrt{81}=9, denn 92=819^2=81.

  4. −3\sqrt{-3} existiert nicht, denn der Radikand ist negativ.

Höhere Wurzeln

Es gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch sogenannte höhere Wurzeln. Mehr dazu findest du im Artikel höhere Wurzel.

Quadratwurzel aus Termen

Man kann Wurzeln nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Termen ziehen. Auch hier muss man beachten, dass der Radikand (= das was unter der Wurzel steht) nicht negativ wird. Und genauso wie bei Quadratwurzeln von Zahlen ist die Quadratwurzel von Termen immer positiv oder 0.

Beispiele

  1. 5x+8\sqrt{5x+8}

  2. (a+2)2\sqrt{(a+2)^2}

  3. −x−7-\sqrt{x-7}

Definitionsmenge

Beim Wurzelziehen aus Termen muss man darauf achten, dass der Radikand nicht negativ wird. Das heißt, man muss den Definitionsbereich beachten.

Wurzeln und der Betrag

Steht unter der Wurzel ein Term, so muss man beim Radizieren den Betrag berücksichtigen, damit immer ein positiver Ausdruck herauskommt.

Beispiele

x2=∣x∣\sqrt{x^2}=\left|x\right|

(x)2=x\left( \sqrt{x} \right)^2=x

Vorgehensweise

Allgemein
Am Beispiel 6x2\sqrt{6x^2}

1. Bestimme zuerst die Definitionsmenge für den Radikanden.

Der Radikand ist 6x26x^2. Dieser wird nie negativ, da die Variable xx quadriert wird und somit der Ausdruck immer positiv (oder 0) wird. Deshalb ist die Definitionsmenge ganz R\mathbb{R}, also alle positven und negativen Zahlen.

2. Radizieren und Betragsstriche setzen.

∣6⋅x∣\left|\sqrt6 \cdot x\right|

3. Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann. Sie können weggelassen werden, wenn der Term in den Betragsstrichen immer positiv oder 0 wird, falls man alle Zahlen aus der Definitionsmenge einsetzt.

Würde man für xx negative Werte einsetzen (diese sind ja in der Definitionsmenge), würde man in den Betragsstrichen den Ausdruck −6⋅x-\sqrt6\cdot x erhalten. Dann wäre aber die Quadratwurzel negativ. Deshalb darf man die Betragsstriche nicht weglassen.

Rechenregeln

Allgemein

Beispiel

  1. a  ⋅  b=ab\sqrt a\;\cdot\;\sqrt{\mathrm b}=\sqrt[{}]{\mathrm{ab}}

  2. ab=ab\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac {a}{b}}

  3. a2=∣a∣\sqrt{a^2}=\left|a\right|

  4. (a)2=a\left( \sqrt {a} \right)^2= a

  5. a⋅a=a\sqrt a\cdot\sqrt a=a

  6. a=a12\sqrt a = a^{\frac12}

  1. 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3

  2. 364=364=9=3\frac{\sqrt{36}}{\sqrt4}=\sqrt{\frac{36}4}=\sqrt9=3

  3. (−2)2=∣−2∣=2\sqrt{\left(-2\right)^2}=\left|-2\right|=2

  4. (21)2=21\left(\sqrt {21} \right)^2=21

  5. 3⋅3=3\sqrt3\cdot\sqrt3=3

  6. 17=1712\sqrt{17} =17^{\frac12}

"Rationalmachen" des Nenners

Ist eine Zahl gegeben durch ab\frac a{\sqrt b} , dann kann man diese Zahl mit b\sqrt b erweitern , um die Wurzel aus dem Nenner wegzubekommen. Die Rechenschritte sind folgende:

ab=ab⋅bb=a⋅bb⋅b=abb\frac a{\sqrt b}=\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\cdot\sqrt b}{\sqrt b\cdot\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}b .

Wurzelziehen in Gleichungen

Verwendet man Wurzeln um Gleichungen zu vereinfachen, muss man aufpassen, dass man manche Lösungen nicht verliert! Deshalb muss man auch hier den Betrag verwenden. Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen:

x2=4x^2=4

∣…|\sqrt{…}

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.

x2=4\sqrt{x^2}=\sqrt4

Ziehe nun auf beiden Seiten nach den obigen Rechenregeln die Wurzel.

∣x∣=2\left|x\right|=2

Hier ist besonders wichtig, dass man den Betrag nicht vergisst. Löse nun den Betrag auf.

x1=2x_1=2 und x2=−2x_2=-2

Hätte man die Betragsstriche nicht verwendet, wäre die Lösung nur x=2x=2 gewesen. Man hätte also die Lösung x=−2x=-2 verloren!

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