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Wurzel

Wurzeln kann man sowohl aus Zahlen als auch aus Termen ziehen. Aber auch beim Lösen von Gleichungen sind Wurzeln sehr wichtig. Das Ziehen von Quadratwurzeln ist die Umkehroperation zum Quadrieren.

Wurzelziehen aus Zahlen

Das Berechnen der Wurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.

Die Quadratwurzel

Die Quadratwurzel einer Zahl aa ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um aa zu erhalten. Die Quadratwurzel einer Zahl ist immer eine positive reelle Zahl oder 0!

MerkeWarum ist die Quadratwurzel immer eine positive Zahl?

Betrachtet man das Beispiel 4\sqrt{4}, dann ist die Quadratwurzel diejenige Zahl, welche man quadrieren muss, um 4 zu erhalten. Offensichtlich löst 2 das Problem. Aber auch -2 wäre prinzipiell eine sinnvolle Lösung, denn (−2)⋅(−2)=(−2)2=4(-2)\cdot(-2)=(-2)^2=4. Warum ist also (-2) nicht die Quadratwurzel von 4? Dies liegt daran, dass die Quadratwurzel auch als Funktion definiert werden kann bzw. soll. Eine Funktion ordnet jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau eine Zahl aus der Wertemenge zu. Deshalb definiert man die Quadratwurzel immer als eine positive Zahl (oder 0), sodass die Quadratwurzel eindeutig ist.

Die Quadratwurzel einer Zahl soll immer positiv sein, weil man einen eindeutigen Ausdruck haben möchte.

Die Quadratwurzel von a schreibt man so:

 \,a2\sqrt[2]{a} bzw. kurz: a\sqrt{a}

Dabei bezeichnet man die Zahl unter dem Wurzelzeichen als Radikand. Dieser ist immer positiv oder 0.

Beispiele

  1. 4=2\sqrt4=2, denn 22=42^2=4. Achtung: (−2)⋅(−2)=4(-2)\cdot(-2)=4, aber die Quadratwurzel einer Zahl ist immer positiv oder 0.

  2. 9=3\sqrt9=3, denn 32=93^2=9.

  3. 81=9\sqrt{81}=9, denn 92=819^2=81.

  4. −3\sqrt{-3} existiert nicht, denn der Radikand ist negativ.

Höhere Wurzeln

Es gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch sogenannte höhere Wurzeln. Mehr dazu findest du im Artikel höhere Wurzel.

Quadratwurzel aus Termen

Man kann Wurzeln nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Termen ziehen. Auch hier muss man beachten, dass der Radikand (= das, was unter der Wurzel steht) nicht negativ wird. Und genauso wie bei Quadratwurzeln von Zahlen ist die Quadratwurzel von Termen immer positiv oder 0.

Beispiele

  1. 5x+8\sqrt{5x+8}

  2. (a+2)2\sqrt{(a+2)^2}

  3. −x−7-\sqrt{x-7}

Definitionsmenge

Beim Wurzelziehen aus Termen muss man darauf achten, dass der Radikand nicht negativ wird. Das heißt, man muss den Definitionsbereich beachten.

Wurzeln und der Betrag

Steht unter der Wurzel ein Term, so muss man beim Radizieren den Betrag berücksichtigen, damit immer ein positiver Ausdruck herauskommt.

Beispiele

  • x2=∣x∣\sqrt{x^2}=\left|x\right|

BeachteBetragsstriche |x|

Würde man den Betrag nicht setzen, also als Ergebnis schreiben x2=x\sqrt{x^2}=x, könnte man für xx auch negative Zahlen einsetzen (da der Definitionsbereich ganz R\mathbb{R} ist). Dann wäre aber die Quadratwurzel negativ, was aber verboten ist. Durch die Verwendung des Betrags kann man alle Zahlen des Definitionsbereichs einsetzen (also auch die negativen) und bekommt trotzdem nur positive Zahlen (oder 0) heraus.

  • (x)2=x\left( \sqrt{x} \right)^2=x

BeachteWarum kann man hier die Betragsstriche weglassen?

Natürlich wäre hier die Lösung (x)2=∣x∣\left(\sqrt x\right)^2=\left|x\right| auch richtig. Allerdings kann man hier den Betrag weglassen, da die Definitionsmenge nur aus den nicht negativen reellen Zahlen besteht. Man darf also für xx gar keine negativen Zahlen einsetzen! Somit sind die Betragsstriche überflüssig.

Vorgehensweise

Allgemein

Am Beispiel 6x2\sqrt{6x^2}

1. Bestimme zuerst die Definitionsmenge für den Radikanden.

Der Radikand ist 6x26x^2. Dieser wird nie negativ, da die Variable xx quadriert wird und somit der Ausdruck immer positiv (oder 0) wird. Deshalb ist die Definitionsmenge ganz R\mathbb{R}, also alle positiven und negativen Zahlen.

2. Radizieren und Betragsstriche setzen.

∣6⋅x∣\left|\sqrt{6}\cdot x\right|

3. Überlege, ob man die Betragsstriche weglassen kann. Sie können weggelassen werden, wenn der Term in den Betragsstrichen immer positiv oder 0 wird, falls man alle Zahlen aus der Definitionsmenge einsetzt.

Würde man für xx negative Werte einsetzen (diese sind ja in der Definitionsmenge), würde man in den Betragsstrichen den Ausdruck −6⋅x-\sqrt6\cdot x erhalten. Dann wäre aber die Quadratwurzel negativ. Deshalb darf man die Betragsstriche nicht weglassen.

Rechenregeln

Allgemein

Beispiel

  1. a  ⋅  b=ab\sqrt a\;\cdot\;\sqrt{\mathrm b}=\sqrt[{}]{\mathrm{ab}}

  2. ab=ab\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac {a}{b}}

  3. a2=∣a∣\sqrt{a^2}=\left|a\right|

  4. (a)2=a\left( \sqrt {a} \right)^2= a

  5. a⋅a=a\sqrt a\cdot\sqrt a=a

  6. a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

  1. 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3

  2. 364=364=9=3\frac{\sqrt{36}}{\sqrt4}=\sqrt{\frac{36}4}=\sqrt9=3

  3. (−2)2=∣−2∣=2\sqrt{\left(-2\right)^2}=\left|-2\right|=2

  4. (21)2=21\left(\sqrt {21} \right)^2=21

  5. 3⋅3=3\sqrt3\cdot\sqrt3=3

  6. 17=1712\sqrt{17}=17^{\frac{1}{2}}

"Rationalmachen" des Nenners

Ist eine Zahl gegeben durch ab\dfrac{a}{\sqrt{b}}, dann kann man diese Zahl mit b\sqrt b erweitern, um die Wurzel aus dem Nenner wegzubekommen. Die Rechenschritte sind folgende:

ab=ab⋅bb=a⋅bb⋅b=abb\dfrac a{\sqrt b}=\dfrac a{\sqrt b}\cdot\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}=\dfrac{a\cdot\sqrt b}{\sqrt b\cdot\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}b

Wurzelziehen in Gleichungen

Verwendet man Wurzeln, um Gleichungen zu vereinfachen, muss man aufpassen, dass man manche Lösungen nicht verliert! Deshalb muss man auch hier den Betrag verwenden. Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen:

x2\displaystyle x^2==4\displaystyle 4\displaystyle \sqrt{ }
↓

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel

x2\displaystyle \sqrt{x^2}==4\displaystyle \sqrt{4}
↓

Ziehe nun auf beiden Seiten nach den obigen Rechenregeln die Wurzel.

∣x∣\displaystyle \left|x\right|==2\displaystyle 2
↓

Hier ist besonders wichtig, dass man den Betrag nicht vergisst. Löse nun den Betrag auf.

x1\displaystyle x_1==2\displaystyle 2
x2\displaystyle x_2==−2\displaystyle -2

Hätte man die Betragsstriche nicht verwendet, wäre die Lösung nur x=2x=2 gewesen. Man hätte also die Lösung x=−2x=-2 verloren!

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