Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.
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Zu text-exercise-group 15253:
Nish 2018-10-04 12:52:41+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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x2+6x−16=0x^2+6x-16=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

x2+6x−16=0x^2+6x-16=0
Quadratisch ergänzen mit 323^2.
x2+6x+32−32−16=0x^2+6x+3^2-3^2-16=0
Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
(x+3)2−9−16=0(x+3)^2-9-16=0
Zusammenfassen.
(x+3)2−25=0(x+3)^2-25=0
∣+25\left|+25\right.
(x+3)2=25(x+3)^2=25
∣    \left|\sqrt{\;\;}\right.
x+3=±5x+3=\pm5
∣−3|-3
x=±5−3x=\pm5-3

=> x1=−8x_1=-8 und x2=2x_2=2
Lösungsmenge angeben.
L={−8;2}L=\{-8;2\}

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x2+10x+9=0x^2+10x+9=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

x2+10x+9=0x^2+10x+9=0
Ergänze quadratisch mit 525^2.
x2+2⋅5x+52−52+9=0x^2+\underset{}{2\cdot5}x+5^2-5^2+9=0
Fasse zusammen.
(x2+2⋅5x+52  )−16=0\left(x^2+2\cdot5x+5^2\;\right)-16=0
Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
(x+5  )2−16=0\left(x+5\;\right)^2-16=0
Addiere auf beiden Seiten 16.
(x+5  )2=16\left(x+5\;\right)^2=16
Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
x+5=±4x+5=±4
Forme weiter um.
x1=4−5=−1x_1=4-5=-1
x2=−4−5=−9x_2=-4-5=-9
Lösungsmenge angeben.
L={−1  ;  −9}L=\left\{-1\;;\;-9\right\}

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0,5x2−1,5x−14=00,5x^2-1,5x-14=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

0,5x2−1,5x−14=00,5x^2-1,5x-14=0
0,50,5 ausklammern.
0,5(x2−3x)−14=00,5\left(x^2-3x\right)-14=0
0,5(x2−3x+(32)2−(32)2)−14=00,5\left(x^2-3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)-14=0
Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
0,5((x−32)2−94)−14=00,5\left(\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right)-14=0
0,5(x−32)2−98−14=00,5\left(x-\frac32\right)^2-\frac98-14=0
Gleichung umformen.
0,5(x−32)2−98−14=0\begin{array}{rclc}0,5\left(x-\frac32\right)^2-\frac98-14&=&0&\end{array}
∣+14+98\left|+14+\frac98\right.

0,5(x−32)2=14+98\begin{array}{rcl}0,5\left(x-\frac32\right)^2&=&14+\frac98\end{array}
∣⋅2\displaystyle \left|\cdot2\right.

(x−32)2=28+94\begin{array}{rcl}\left(x-\frac32\right)^2&=&28+\frac94\end{array}
\displaystyle \left|\sqrt\;\right.

x−32=±1214\begin{array}{rcl}x-\frac32&=&\pm\sqrt{\frac{121}4}\end{array}
∣+32\left|+\frac32\right.

x=32±112\begin{array}{rcl}x&=&\frac32\pm\frac{11}2\end{array}
Lösungsmenge angeben.
L={−4;  7}L=\left\{-4;\;7\right\}

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−12x2+7x+7,5=0-\frac12x^2+7x+7,5=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

−12x2+7x+7,5=0-\frac12x^2+7x+7,5=0
Klammere −12-\frac12 vor den x-Termen aus.
−12(x2−14x)+7,5=0-\frac12\left(x^2-14x\right)+7,5=0
Ergänze quadratisch mit 727^2.
−12(x2−2⋅7x+72  −72)+7,5=0-\frac12\left(x^2-2\cdot7x+7^2\;-7^2\right)+7,5=0
Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
−12((x−7)2−49)+7,5=0-\frac12\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7,5=0
−12((x−7)2)+24,5+7,5=0-\frac12\left(\left(x-7\right)^2\right)+24,5+7,5=0
Fasse zusammen.
−12(x−7)2+32=0-\frac12\left(x-7\right)^2+32=0
∣−32\left|-32\right.

−12(x−7  )2=−32-\frac12\left(x-7\;\right)^2=-32
∣−2\left|-2\right.

(x−7  )2=64\left(x-7\;\right)^2=64
Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
x−7=±8x-7=\pm8
Forme weiter um.
x1=8+7=15x_1=8+7=15
x2=−8+7=−1x_2=-8+7=-1
Gib die Lösungsmenge an.
L={−1  ;  15}L=\left\{-1\;;\;15\right\}

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2x2+2x−89=02x^2+2x-\frac89=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

2x2+2x−89=02x^2+2x-\frac89=0
Klammere den Faktor 22 vor den x-Termen aus.
2(x2+x)−89=02\left(x^2+x\right)-\frac89=0
Ergänze quadratisch mit (12)2\left(\frac12\right)^2.
2(x2+2⋅12x+(12)2−(12)2)−89=02\left(x^2+2\cdot\frac12x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2\right)-\frac89=0
Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
2((x+12)2−14)−89=02\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right)-\frac89=0
2(x+12)2−12−1618=02\left(x+\frac12\right)^2-\frac12-\frac{16}{18}=0
Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
2(x+12)2−918−1618=02\left(x+\frac12\right)^2-\frac9{18}-\frac{16}{18}=0
Fasse zusammen.
2(x+12)2−2518=02\left(x+\frac12\right)^2-\frac{25}{18}=0
∣+2518|+\frac{25}{18}

2(x+12)2=25182\left(x+\frac12\right)^2=\frac{25}{18}
∣⋅12\vert\cdot\frac12

(x+12)2=2536\left(x+\frac12\right)^2=\frac{25}{36}
∣    \left|\sqrt{\;\;}\right.

x+12=±56x+\frac12=\pm\frac56
Forme weiter um.
x1=56−12=56−36=26  =13x_1=\frac56-\frac12=\frac56-\frac36=\frac26\;=\frac13
x2=−56−12=−56−36=−86  =−43x_2=-\frac56-\frac12=-\frac56-\frac36=-\frac86\;=-\frac43
Lösungsmenge angeben.
L={−43  ;  13}L=\left\{-\frac43\;;\;\frac13\right\}

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2x2=x+12x^2=x+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

2x2=x+12x^2=x+1
∣−x+1\left|-x+1\right.
Alles Summanden auf eine Seite bringen.
2x2−x−1=02x^2-x-1=0
Den Faktor 2 ausklammern.
2(x2−12x)−1=02\left(x^2-\frac12x\right)-1=0
2(x2−12x+(14)2−(14)2)−1=02\left(x^2-\frac12x+\left(\frac14\right)^2-\left(\frac14\right)^2\right)-1=0
Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
2((x−14)2−116)−1=02\left(\left(x-\frac14\right)^2-\frac1{16}\right)-1=0
2(x−14)2−18−1=02\left(x-\frac14\right)^2-\frac18-1=0
Die Gleichung nach x auflösen.
2(x−14)2−18−1=0\begin{array}{rcl}2\left(x-\frac14\right)^2-\frac18-1&=&0\end{array}
∣+1+18\left|+1+\frac18\right.

2(x−14)2=18+1\begin{array}{rcl}2\left(x-\frac14\right)^2&=&\frac18+1\end{array}
∣:2|:2

(x−14)2=916\begin{array}{rcl}\left(x-\frac14\right)^2&=&\frac9{16}\end{array}
∣    \left|\sqrt{\;\;}\right.

x−14=±34\begin{array}{rcl}x-\frac14&=&\pm\frac34\end{array}
∣+14\left|+\frac14\right.

x=14±34\begin{array}{rcl}x&=&\frac14\pm\frac34\end{array}
Lösungsmenge angeben.
L={−12;  1}L=\left\{-\frac12;\;1\right\}

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