Berechnungen am Kreis

Kreis

Ein Kreis beschreibt die Menge aller Punkte, die denselben Abstand $r$ zum Mittelpunkt $M$ besitzen. In diesem Artikel lernst du die folgenden Formeln kennen:

Berechnung des Umfangs
Berechnung der Kreisfläche
Berechnung der Kreisbogenlänge
Berechnung der Sektorfläche
Berechnung des Kreisrings

Zusammenfassung

Begriff	Formel
Umfang	$U=2\pi r$
Kreisfläche	$A_{\circ}=\pi r^2$
Kreisbogenlänge	$b=U\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$
Sektorfläche	$A_\mathrm{s} = A_{\circ} \cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$
Kreisring	$A_{\mathrm{Kreisring}} = \pi \cdot ( r_2^2 \; – \; r_1^2)$

Bestimmung des Umfangs

Den Umfang erhältst du durch Abrollen des Kreises und messen der abgerollten Strecke. Auf diese Weise kannst du die Kreiszahl $\pi$ definieren.

In der Abbildung rechts siehst du, wie ein Kreis mit Durchmesser $d=1$ abgerollt wird.

Sein Umfang beträgt $\pi$ , also etwa $3{,}14$ .

Für den Umfang findest du so den folgenden Zusammenhang:

$U = 2 \cdot r \cdot \pi = d\cdot \pi$

Quelle: John Reid , Wikimedia Commons CCBY-SA 3.0

Berechnung des Flächeninhalts

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

$A_{\circ}=\pi r^2$

BeweisWarum ist das so?

Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, stellst du dir einen Kreis vor, der in viele Kreissektoren zerteilt ist. Dieser Kreis ähnelt einem Kuchen mit vielen Kuchenstücken.

Ähnlich wie beim Umfang kannst du nun diese Kuchenstücke umplatzieren und nebeneinander legen. Die Kreissektoren sehen schon fast wie Dreiecke aus. Aber nur fast.

Die Höhe des Dreiecks $\overline{AD}$ ist kleiner als der Radius $r$ , also die Länge $\overline{AE}$ rechts im Bild.

Vergrößerst du jedoch die Anzahl der Kreissektoren, so kannst du den Flächeninhalt des Kreises immer besser durch den Flächeninhalt von Dreiecken annähern.

Die Länge der aneinandergelegten Kreissektoren gleicht bei vielen Unterteilungen nun näherungsweise dem Umfang.

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ entspricht nun fast dem Flächeninhalt eines Kreissektors und die Höhe des Dreiecks ist in etwa $r$ , also $\overline{AE}$ .

Indem du die Kuchenstücke immer weiter unterteilst, erhöhst du die Anzahl der Kuchenstücke immer weiter. Dadurch erhältst du ganz viele Kreissektoren und kannst so den Flächeninhalt sehr genau bestimmen.

Stell dir hierfür eine ganz große natürliche Zahl $n$ vor. Der Kreis soll in $n$ Teile zerteilt werden. Ein Kuchenstück hat dann in etwa den Flächeninhalt eines Dreiecks:
	↓
$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AD}$
	↓	Bei sehr vielen Kreissektoren ist $\overline{AD}$ in etwa so lang wie $\overline{AE}$ .
	$≈$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AE}$
	↓	$\overline{AE}$ entspricht dem Radius $r$ des Kreises.
	$≈$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AE}=\frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot r$

Nun nähern wir auch den Flächeninhalt des Dreiecks noch weiter an, um die Kreisfläche möglichst genau zu bestimmen. Die Länge $\overline{BC}$ ist fast ein $n$ -tel des Umfangs. Durch addieren aller $n$ Dreiecksflächen erhältst du näherungsweise die Formel für den Flächeninhalt des Kreises.

$\displaystyle A_{\circ}$	$≈$	$\displaystyle n\cdot A_{\Delta}$
	↓	Du ersetzt $A_{\Delta}$ durch die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks.
	$≈$	$\displaystyle n\cdot(\frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot r)$
	↓	Die Strecke $\overline{BC}$ ist fast ein $n$ -tel des Umfangs. Der Umfang $U$ ist $2\pi r$ .
	$≈$	$\displaystyle n\cdot(\frac{1}{2}\cdot(2\pi r\cdot\frac{1}{n})\cdot r)$
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot r^2$

Durch Annähern der Kreissektoren an Dreiecke und näherungsweiser Berechnung des Flächeninhalt dieser Dreiecke erhältst du in diesem Fall glücklicherweise sogar exakt die Kreisfläche.

Durch Unterteilung in unendlich viele Kreissektoren bestätigt sich, dass deine Näherung exakt ist:

$A_{\circ} = \pi r^2$

Berechnung der Kreisbogenlänge

Die Kreisbogenlänge $b$ kannst du über den vom Kreissektor eingeschlossenen Winkel $\alpha$ und den Radius $r$ bestimmen.

Der Kreis hat einen Innenwinkel von $360^{\circ}.$ Das Verhältnis des Winkel $\alpha$ zu $360^{\circ}$ , gibt dir den Anteil der Kreisbogenlänge $b$ vom Umfang $U$ an.

Du erhältst so die Formel:

$b = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot U = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r$

Berechnung der Sektorfläche

Die Sektorfläche bestimmst du auch über das Verhältnis des Winkels $\alpha$ zu $360^{\circ}$ . Dieses Verhältnis gibt dir an, welchen Anteil der Flächeninhalt vom Kreissektor zum Flächeninhalt des ganzen Kreises hat.

Die Formel zur Berechnung der Sektorfläche lautet also:

$A_\mathrm{s} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot A_{\circ} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$

Berechnung des Kreisrings

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt.

Hier siehst du zwei Kreise mit dem Mittelpunkt M.

Der kleine Kreis hat den Radius $r_1$ , der große Kreis hat den Radius $r_2$ .

Den Flächeninhalt des Kreisrings berechnest du dadurch, dass du die beiden Kreisflächen voneinander subtrahierst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}A_\text{Kreisring} &= A_\text{Kreis groß} \;–\; A_\text{Kreis klein} \\&= \pi \cdot r_2^2 \; – \; \pi \cdot r_1^2 \\&= \pi \cdot ( r_2^2 \; – \; r_1^2) \end{aligned}$

Video zur Flächenberechnung

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[https://www.youtube.com/watch?v=B8eVrg1ki5g]

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