Berechnungen am Kreis

Ein Kreis beschreibt die Menge aller Punkte, die denselben Abstand rr zum Mittelpunkt MM besitzen. In diesem Artikel lernst du die folgenden Formeln kennen:

Zusammenfassung

Begriff

Formel

Umfang:

Kreisfläche:

Kreisbogenlänge:

Sektorfläche:

Kreisring:

Bestimmung des Umfangs

Den Umfang erhältst du durch Abrollen des Kreises und messen der abgerollten Strecke. Auf diese Weise kannst du die Kreiszahl π\pi definieren.

In der Abbildung rechts siehst du, wie ein Kreis mit Durchmesser d=1d=1 abgerollt wird.

Sein Umfang beträgt π\pi, also etwa 3,143{,}14.

Für den Umfang findest du so den folgenden Zusammenhang:

Quelle: John Reid , Wikimedia Commons CCBY-SA 3.0

Berechnung des Flächeninhalts

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

Berechnung der Kreisbogenlänge

Die Kreisbogenlänge bb kannst du über den vom Kreissektor eingeschlossenen Winkel α\alpha und den Radius rr bestimmen.

Der Kreis hat einen Innenwinkel von 360.360^{\circ}.

Das Verhältnis des Winkel α\alpha zu 360360^{\circ}, gibt dir den Anteil der Kreisbogenlänge bb vom Umfang UU an.

Du erhältst so die Formel:

Berechnung der Sektorfläche

Die Sektorfläche bestimmst du auch über das Verhältnis des Winkels α\alpha zu 360360^{\circ}. Dieses Verhältnis gibt dir an, welchen Anteil der Flächeninhalt vom Kreissektor zum Flächeninhalt des ganzen Kreises hat.

Die Formel zur Berechnung der Sektorfläche lautet also:

Berechnung des Kreisrings

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt.

Hier siehst du zwei Kreise mit dem Mittelpunkt M.

Der kleine Kreis hat den Radius r1r_1, der große Kreis hat den Radius r2r_2.

Den Flächeninhalt des Kreisrings berechnest du dadurch, dass du die beiden Kreisflächen voneinander subtrahierst:

Video zur Flächenberechnung


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