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Berechnungen am Kreis

Kreis

Ein Kreis beschreibt die Menge aller Punkte, die denselben Abstand rr zum Mittelpunkt MM besitzen. In diesem Artikel lernst du die folgenden Formeln kennen:

Zusammenfassung

Begriff

Formel

Umfang

U=2πrU=2\pi r

Kreisfläche

A=πr2A_{\circ}=\pi r^2

Kreisbogenlänge

b=Uα360b=U\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}

Sektorfläche

As=Aα360A_\mathrm{s} = A_{\circ} \cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}

Kreisring

AKreisring=π(r22    r12)A_{\mathrm{Kreisring}} = \pi \cdot ( r_2^2 \; – \; r_1^2)

Bestimmung des Umfangs

Den Umfang erhältst du durch Abrollen des Kreises und messen der abgerollten Strecke. Auf diese Weise kannst du die Kreiszahl π\pi definieren.

In der Abbildung rechts siehst du, wie ein Kreis mit Durchmesser d=1d=1 abgerollt wird.

Sein Umfang beträgt π\pi, also etwa 3,143{,}14.

Für den Umfang findest du so den folgenden Zusammenhang:

U=2rπ=dπU = 2 \cdot r \cdot \pi = d\cdot \pi

Berechnung des Flächeninhalts

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

A=πr2A_{\circ}=\pi r^2

BeweisWarum ist das so?

Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, stellst du dir einen Kreis vor, der in viele Kreissektoren zerteilt ist. Dieser Kreis ähnelt einem Kuchen mit vielen Kuchenstücken.

Ähnlich wie beim Umfang kannst du nun diese Kuchenstücke umplatzieren und nebeneinander legen. Die Kreissektoren sehen schon fast wie Dreiecke aus. Aber nur fast.

Die Höhe des Dreiecks AD\overline{AD} ist kleiner als der Radius rr, also die Länge AE\overline{AE} rechts im Bild.

Vergrößerst du jedoch die Anzahl der Kreissektoren, so kannst du den Flächeninhalt des Kreises immer besser durch den Flächeninhalt von Dreiecken annähern.

Die Länge der aneinandergelegten Kreissektoren gleicht bei vielen Unterteilungen nun näherungsweise dem Umfang.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABCABC entspricht nun fast dem Flächeninhalt eines Kreissektors und die Höhe des Dreiecks ist in etwa rr, also AE\overline{AE}.

Indem du die Kuchenstücke immer weiter unterteilst, erhöhst du die Anzahl der Kuchenstücke immer weiter. Dadurch erhältst du ganz viele Kreissektoren und kannst so den Flächeninhalt sehr genau bestimmen.

Stell dir hierfür eine ganz große natürliche Zahl nn vor. Der Kreis soll in nn Teile zerteilt werden. Ein Kuchenstück hat dann in etwa den Flächeninhalt eines Dreiecks:

AΔ\displaystyle A_{\Delta}==12BCAD\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AD}

Bei sehr vielen Kreissektoren ist AD\overline{AD}in etwa so lang wie AE\overline{AE}.

12BCAE\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AE}

AE\overline{AE} entspricht dem Radius rr des Kreises.

12BCAE=12BCr\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AE}=\frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot r

Nun nähern wir auch den Flächeninhalt des Dreiecks noch weiter an, um die Kreisfläche möglichst genau zu bestimmen. Die Länge BC\overline{BC} ist fast ein nn-tel des Umfangs. Durch addieren aller nn Dreiecksflächen erhältst du näherungsweise die Formel für den Flächeninhalt des Kreises.

A\displaystyle A_{\circ}nAΔ\displaystyle n\cdot A_{\Delta}

Du ersetzt AΔA_{\Delta} durch die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks.

n(12BCr)\displaystyle n\cdot(\frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot r)

Die Strecke BC\overline{BC} ist fast ein nn-tel des Umfangs. Der Umfang UU ist 2πr2\pi r.

n(12(2πr1n)r)\displaystyle n\cdot(\frac{1}{2}\cdot(2\pi r\cdot\frac{1}{n})\cdot r)
==πr2\displaystyle \pi\cdot r^2

Durch Annähern der Kreissektoren an Dreiecke und näherungsweiser Berechnung des Flächeninhalt dieser Dreiecke erhältst du in diesem Fall glücklicherweise sogar exakt die Kreisfläche.

Durch Unterteilung in unendlich viele Kreissektoren bestätigt sich, dass deine Näherung exakt ist:

A=πr2A_{\circ} = \pi r^2

Berechnung der Kreisbogenlänge

Die Kreisbogenlänge bb kannst du über den vom Kreissektor eingeschlossenen Winkel α\alpha und den Radius rr bestimmen.

Der Kreis hat einen Innenwinkel von 360.360^{\circ}. Das Verhältnis des Winkel α\alpha zu 360360^{\circ}, gibt dir den Anteil der Kreisbogenlänge bb vom Umfang UU an.

Du erhältst so die Formel:

b=α360U=α3602πrb = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot U = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r

Berechnung der Sektorfläche

Die Sektorfläche bestimmst du auch über das Verhältnis des Winkels α\alpha zu 360360^{\circ}. Dieses Verhältnis gibt dir an, welchen Anteil der Flächeninhalt vom Kreissektor zum Flächeninhalt des ganzen Kreises hat.

Die Formel zur Berechnung der Sektorfläche lautet also:

As=α360A=α360πr2A_\mathrm{s} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot A_{\circ} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2

Berechnung des Kreisrings

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt.

Hier siehst du zwei Kreise mit dem Mittelpunkt M.

Der kleine Kreis hat den Radius r1r_1, der große Kreis hat den Radius r2r_2.

Den Flächeninhalt des Kreisrings berechnest du dadurch, dass du die beiden Kreisflächen voneinander subtrahierst:

AKreisring=AKreis groß    AKreis klein=πr22    πr12=π(r22    r12)\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}A_\text{Kreisring} &= A_\text{Kreis groß} \;–\; A_\text{Kreis klein} \\&= \pi \cdot r_2^2 \; – \; \pi \cdot r_1^2 \\&= \pi \cdot ( r_2^2 \; – \; r_1^2) \end{aligned}

Video zur Flächenberechnung

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

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