Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.

Man geht aus von der Form ax2+bx+cax^2+bx+c und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform a(xd)2+e a( x- d)^2+ e .

Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.

Vorgehensweise am Beispiel

Quadratische Ergänzung des Terms 12x+17+2x2{12x+17+2x^2}

1) Sortieren

Sortiere den Term absteigend nach den Potenzen von xx.

x2xx^2 \rightarrow x \rightarrow Konstanten

Hier: 2x22x^2 nach vorne bringen

2) Ausklammern

Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei Termen, die ein xx enthalten, ausklammern. \rightarrow Faktorisieren

3) Ergänzen

Den Term in der Klammer kannst du nun so umformen, dass er wie ein Teil einer binomischen Formel aussieht.

Teile dafür den Vorfaktor von xx durch 22, und schreibe dein Ergebnis als zweimal diese Zahl.

Hier: 6x=23x6x = 2\cdot 3x

Nun musst du nur noch eine Konstante ergänzen, um eine binomische Formel zu erhalten.

Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum Umformen.

Hier: 6x=23x6x = 2\cdot 3x \Rightarrow ergänzen mit 32=93^2=9 und ziehe 323^2 wieder ab.

4) Zusammenfassen

Mit Hilfe der Binomischen Formeln kannst du nun Teile des Terms zusammenfassen.

Hier: Der Term x2+23x+32x^2+2\cdot3x+3^2 ist eine aufgelöste erste binomische Formel.

5) Klammer ausmultiplizieren

Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält.

Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden (x+3)2(x+3)^2 und (9)(-9)

6) Rechte Summe ausrechnen

Berechne den Wert der Konstanten.

Hier: 18+17=1-18+17=-1

Am Ende erhält man die Scheitelform

Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet

Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.

Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.

Sonderfall bx = 0

Wenn der lineare Term bxbx fehlt, lautet die Ausgangsgleichung ax2+c=0ax^2+c=0.

Hier gibt es keinen x-Term. Es fehlt also der Ausdruck, dessen Vorfaktor man bei der quadratischen Ergänzung halbieren und quadrieren muss.

Deshalb die Überlegung: Wann fällt bei einer binomischen Formel (w+z)2=w2+2wz+z2\left(w+z\right)^2=w^2+2wz+z^2 der gemischte Term weg?

2wz=0w=0  oder  z=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2wz=0\Leftrightarrow w=0\;\text{oder}\;z=0\end{array},denn ein Produkt (hier: wzwz) ist genau dann 00, wenn eines der Faktoren (hier: ww bzw. zz) null ist.

Da w2=x2w^2=x^2 und damit w=xw=x nicht 00 ist, muss also z=0z=0 sein.

Man müsste also mit z2=02=0z^2=0^2=0 ergänzen - ein überflüssiger Vorgang.

Betrachtet man jetzt noch einmal die Ausgangsgleichung, dann erkennt man, das bereits die Scheitelform gegeben ist, denn ax2+c=a(x+0)2+cax^2+c=a\left(x+0\right)^2+c .

Wozu dient die quadratische Ergänzung?

Scheitelpunkt bestimmen

Mit Hilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.

Ist die Scheitelform  a(xd)2+ea\left(x-d\right)^2+e , so liegt der Scheitelpunkt bei  (de)\left(d\vert e\right) .

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Eine normale quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+c=0 kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.

Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.

Beispiel: 3(x1)212=03(x-1)^2-12=0

+12|+12

:3|:3^{ }

  |\ \sqrt{\ }

+1|+1^{ }


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