Wendepunkt und Terrassenpunkt

In diesem Artikel lernst du die Eigenschaften von Wendepunkten und deren Spezialfällen, den Sattel- bzw. Terrassenpunkten, kennen.

Ein Wendepunkt P(xPf(xP))P\left(x_P\mid f(x_P)\right) ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. Ist die Tangente durch diesen Punkt horizontal, so nennen wir ihn einen Terrassen- oder Sattelpunkt.

Anmerkung: In diesem Artikel wird ff als dreimal differenzierbar angenommen.

Wendepunkt

Definition

Ein Wendepunkt (WP) einer Funktion ff ist ein Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen von ff ändert.

Dies ist gleichbedeutend dazu, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung in x0x_0 ändert.

Berechnung

Notwendiges Kriterium

Für jeden Wendepunkt x0x_0 einer Funktion ff gilt, dass f(x0)=0f''(x_0)=0. Die zweite Ableitung von ff gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.

Beachte

Wenn man weiß, dass die zweite Ableitung einer Funktion ff an der Stelle x0x_0 gleich null ist, kann man nicht darauf schließen, dass ff dort einen Wendepunkt hat.Als Beispiel betrachten wir f(x)=x4f(x)=x^4. Die zweite Ableitung ist von der Form f(x)=12x2f''(x)=12 \cdot x^2. Bei x0=0x_0=0 hat ff'' eine Nullstelle, allerdings hat ff keinen Wendepunkt bei null.

Hinreichendes Kriterium

Wenn

  • f(x0)=0f''(x_0)=0 und zusätzlich

  • f(x0)0f'''(x_0)\neq 0

gelten, dann besitzt ff an der Stelle x0x_0 einen Wendepunkt.

Beachte

Gelten diese Bedingungen nicht, so schließt dies nicht aus, dass bei x0x_0 ein Wendepunkt vorliegt. Zum Beispiel hat ff, gegeben durch f(x)=x5f(x)=x^5 einen Wendepunkt bei x0=0x_0=0, allerdings ist f(0)=6002=0f'''(0)=60\cdot0^2=0.

Vorgehen

Um die Wendepunkt nun tatsächlich zu berechnen, geht man wie folgt vor:

  • Berechne die ersten 3 Ableitungen ff', ff'' und ff''' von ff.

  • Finde alle Nullstellen xix_i von ff''.

  • Für jede Nullstelle xix_i von ff'' prüfe, ob f(xi)0f'''(x_i) \neq 0.

    • Wenn ja xi\Rightarrow x_i ist ein Wendepunkt.

    • Wenn nicht: Prüfe, ob ff'' bei x0x_0 das Vorzeichen wechselt.

  • Gib die Wendepunkte in der Form Pi(xif(xi))P_i\left(x_i \mid f(x_i)\right) an.

Terrassenpunkt oder Sattelpunkt

Definition

Ein Terrassenpunkt (TEP) oder Sattelpunkt (STP) ist ein Wendepunkt, in dem die Steigung einer Funktion 0 wird.

Berechnung

Zusätzlich zu den Bedingungen des Wendepunkts, ist bei einem Terrassenpunkt auch noch die erste Ableitung 0.

  • f(xSTP)=0f'(x_\mathrm{STP})=0

  • f(xSTP)=0f''(x_\mathrm{STP})=0

  • ff'' wechselt bei xSTPx_\mathrm{STP} das Vorzeichen (gilt z.B., wenn f(xSTP)0f'''(x_\mathrm{STP})\neq0)

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

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