Mehrschrittige Anwendungsaufgaben zur Prozentrechnung

Wie gut kennst du dich aus? Lerne mit diesen Anwendungsaufgaben die Prozentrechnung und vertiefe dein Wissen!

1
Auf dem Preisschild eines Pullovers liest du einen Betrag von 40 €. Auf das komplette Regal gibt es 50% Rabatt. Im Schaufenster steht ein Schild mit der Aufschrift "Auf alle reduzierten Artikel noch einmal 50% Rabatt!" Ist der Pullover jetzt kostenlos?
Ja, der Pullover ist jetzt kostenlos.
Nein, er ist nicht kostenlos.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 40 € ; $\text{p}_1$ = 50% ; $\text{p}_2$ = 50%
Gesucht: G $^-$
Es handelt sich um einen Rabatt, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
G $^-$ = G $\cdot$ (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein.
G $^-$ = 40 € $\cdot$ (1 - 50%)
= 40 € $\cdot$ (1 - 0,5) = 40 € $\cdot$ 0,5 = 20 €
Vereinfache.
$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert
Rechne nun den Preis nach der zweiten Reduzierung aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.
G $^-$ = G $\cdot$ (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
G $^-$ = 20 € $\cdot$ (1 - 50%) = 20 € $\cdot$ 0,5 = 10 €
Antwort: Nein, der Pullover ist nicht kostenlos. Er kostet jetzt 10 €.
2
Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.
Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Überlege dir zunächst wie viel Geld der Käufer tatsächlich bezahlen musste.
Preis nach der Preiserhöhung:
$27500\,\text{€} + 1000\,\text{€} = 28500\,\text{€}$
Preis nach der Rabattaktion:
Berechne den Prozentwert, der angibt wie viel Geld gespart wird.
Gegeben: Grundwert $G=28500\text{\ €}$ , Prozentsatz $p=12\%$
Gesucht: Prozentwert $W$
Verwende die Prozentformel.
$W=p \cdot G\\ =28500\;€ \cdot 12\%\\ =28500\;€ \cdot 0{,}12\\ =3420\;€$
Dieser Betrag wird von dem zuzahlenden Betrag abgezogen.
$28500\; € - 3420\; € = 25080\;€$
Anteil des gezahlten Betrags vom ursprünglichen Grundpreis:
Gegeben: Grundwert $G=27500\,\text{€}$ , Prozentwert $W=25080\,\text{€}$
Gesucht: Prozentsatz $p$
Berechne den prozentuellen Anteil mit Hilfe der Prozentformel.
$p= \frac{W}{G} \\= \frac{25080\,\text{€}}{27500\,\text{€}} \\= 0{,}912 = 91{,}2\%$
Antwort: Tatsächlich wurden 91,2% vom Grundpreis gezahlt.
3
Da die Besucherzahl in einem Freibad zurückgegangen war, wurde der Eintrittspreis um 15% gesenkt. Im nächsten Jahr liest du in der Zeitung, dass der Preis wieder um 15% gestiegen ist. Thomas sagt: "Jetzt kostet der Eintritt wieder so viel wie früher!"
Was meinst du dazu?
Der Preis ist jetzt wieder so wie vor der Veränderung.
Der Preis wurde günstiger.
Der Preis wurde teurer.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert
Thomas hat nicht Recht. Die beiden Prozentsätze von jeweils 15% beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte. Die Reduzierung um 15% bezieht sich auf den ursprünglichen Preis und die Preiserhöhung um 15% bezieht sich auf den dann reduzierten Eintrittspreis.
15% des reduzierten Eintrittspreises bilden einen kleineren Prozentwert als die 15% des ursprünglichen Preises. Dadurch ist der aktuelle Preis immer noch niedriger als der Anfangspreis.
Du kannst dir das auch anhand eines selbstgewählten Beispiels überlegen:
Angenommen der Eintrittspreis kostet 5 €.
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 5 € ; p $_1$ = 15% ; p $_2$ = 15%
Im ersten Schritt handelt es sich um eine Reduzierung also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Gesucht: G $^-$
Berechne mit der Fomel für G $^-$ .
G $^-$ = G - W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p $_1\cdot$ G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% $\cdot$ 5 € = 0,15 $\cdot$ 5 € = 0,75 €
Jetzt kannst du den verminderten Grundwert berechnen.
G $^-$ = 5 € - 0,75 € = 4,25 €
$\Rightarrow$ Nach der Preisreduzierung von 15% kostet der Eintritt 4,25 €. Das ist nun der neue Grundwert mit dem du weiterrechnest.
Gegeben: G = 4,25 €
Im zweiten Schritt handelt es sich um eine Preiserhöhung also bei der gesuchten Größe um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: G $^+$
Berechne mit der Formel für G $^+$
G $^+$ = G + W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p $_2\cdot$ G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% $\cdot$ 4,25 € = 0,15 $\cdot$ 4,25 € = 0.6375 €
Jetzt kannst du den vermehrten Grundwert berechnen.
G $^+$ = 4,25 € + 0.6375 € = 4,8875 € $\approx$ 4,89 €
$\Rightarrow$ Nach der Preiserhöhung kostet der Eintritt ungefähr 4,89 €.
Antwort: Nach der Reduzierung und der Erhöhung ist der Preis immer noch niedriger als der ursprüngliche Preis.

Ein Fahrrad, das 400 € kostet, wird um 20% reduziert. Um noch mehr Käufer anzulocken gibt es nach einer Woche noch einmal 10% Rabatt. Würdest du mehr, weniger oder gleich viel bezahlen, wenn das Fahrrad gleich um 30% billiger wird? Begründe deine Antwort!

Man würde mehr bezahlen.
Man würde weniger bezahlen.
Man würde gleich viel bezahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert und Prozentsatz

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 400 € ; p $_1$ = 20% ; p $_2$ = 10% ; p $_3$ = 30%

Gesucht: G $^-$

Der Preis wird reduziert, also ist ein verminderter Grundwert gesucht.

Zweimalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem ersten Rabatt von 20%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p_1\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle 400€\ \cdot\ \left(1-20\%\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot\left(1-0{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 400€\ \cdot0{,}8$
	$=$	$\displaystyle 320€$

$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert G $_2$

Berechne den verminderten Grundwert nach dem zweiten Rabatt von 10%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G_2^-$	$=$	$\displaystyle G_2\cdot\left(1-p_2\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 320€\cdot\left(1-10\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 320€\ \cdot0{,}9$
	$=$	$\displaystyle 288€$

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 30%.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p_3\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot\left(1-30\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot0{,}7$
	$=$	$\displaystyle 280€$

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

$\Rightarrow$ Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Preisreduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Alternative Lösung zweischrittige Lösung mittels Prozentwertberechnung

Rechne mit der Formel G $^-$ = G - W. Bestimme dazu zuerst W mit Hilfe der Prozentformel.

Zweimalige Preissenkung

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p_1\cdot G$
	$=$	$\displaystyle 20\%\ \cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 80€$

Berechne den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G-W$
	$=$	$\displaystyle 400€-80€$
	$=$	$\displaystyle 320€$

$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert G $_2$

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 10% aus. Berechne hierzu den Prozentwert W $_2$ .

$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle p_2\cdot G_2$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle 10\%\cdot320€$
$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle 32€$

Berechne den verminderten Grundwert G $^-_2$ .

G $_2^-$ = G $_2$ - W $_2$ = 320 € - 32 € = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p_3\cdot G$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 30\%\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 120€$

Berechne den verminderten Grundwert.

G $_2^-$ = G - W = 400 € - 120 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

$\Rightarrow$ Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Preisreduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

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5
Der Preis von Äpfeln wird um 20% des bisherigen Preises gesenkt. Da die Äpfel zu dem reduzierten Preis reißenden Absatz finden, beschließt der Händler, diese Äpfel wieder zu dem höheren alten Preis zu verkaufen. Um wie viel Prozent werden dadurch die Äpfel aus Sicht des Konsumenten teurer?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert: $1$
Prozentsatz: $100\%-20\%=80\%$
Prozentwert: $0{,}8$
Bestimme nun den Prozentsatz, um vom Prozentwert 0,8 wieder auf den Grundwert von 1 zu kommen.
$80\%\cdot x=100\%$
Teile durch 0,8
$x=1{,}25$
$\Rightarrow$ Aus Konsumentensicht werden die Äpfel so um $25\%$ teurer.
6
Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Rudi kauft ein Rennrad, das jetzt nur 460 € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Wie viel kostete das Rad ursprünglich? Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass also in Wirklichkeit?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Gegeben: $460\ €=80\%$
Gesucht: ursprünglicher Preis $P$ , also Preis nach der Steigerung des Preises um 15 %.
Dreisatz anwenden.
$x=100\%$
$460\ €=80\%$
$P=\left(100\%\cdot460\ €\right):80\%$
$=575\ €$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Preis nach der 15 %-Steigerung des Preises betrug 575 €.
Gegeben: $575\ €=115\%$
Da der Preis um $15\%$ erhöht wurde, entsprechen die $575\ €$ gleich $115\%$ . Nun muss der Wert von einem Prozent ausgerechnet werden.
$\frac{575\ €}{115\%}=\frac{5\ €}{1\%}=500\ €$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der ursprüngliche Preis betrug 500 €.
Nun rechne die eigentliche Preissenkung aus.
$100\%\widehat=500\ €$
$1\%\widehat=5\ €$
Die $460\ €$ durch die $5\ €$ teilen, um den prozentualen Wert der $460\ €$ von den $500\ €$ auszurechnen.
$\frac{460€}{5€}=92$
$92\%\widehat=460\ €$
Die Preissenkung in Prozent ausrechnen.
$100\%-92\%=8\%$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die tatsächliche Preissenkung beträgt $8\%$ .
$\hspace{8mm}$ Der Preis wurde von 500 € auf 460 € gesenkt.
7
Der Preis für ein Mofa stieg zuerst um 15%, sank dann wieder um 10% und beträgt nun 1449 Euro. Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Sei $x$ der Anfangspreis.
Zunächst steigt der Preis um 15%:
$x\cdot115\%=x\cdot1{,}15$
Dann sinkt er jedoch wieder um 10%:
$x\cdot115\%\cdot90\%\;=\;x\cdot1{,}15\cdot0{,}9=x_0$
$x_0$ ist der Endpreis. Es gilt: $x_0=1{,}15\cdot0{,}9\cdot x=1{,}035\cdot x$ .
$\Rightarrow$ Insgesamt wurde der Anfangspreis also um $3{,}5\%$ erhöht.

Ist ein Bambus von 30 cm, der in der ersten Woche um 100% wächst und in der zweiten Woche wieder um 100% wächst, dann dreimal so groß wie am Anfang?

Ja, er ist dreimal so groß.
Nein, er ist kleiner als das.
Nein, er ist sogar größer.

9
Herr G. Wicht ist $120\ kg$ schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmagerungskur.
1. Am 1. November hat er $15\ \%$ seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?
  kg
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  Gegeben: altes Gewicht: $120\ kg$ ,
  Info: Er wiegt nun $15\ \%$ weniger.
  Gesucht: neues Gewicht
  Dreisatz anwenden.
  Sei $x$ der Gewichtsverlust.
  $x=15\%$
  $120\, \mathrm{kg}=100\%$
  $x=\left(120\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=18\, \mathrm{kg}$
  Nun subtrahiere den Gewichtsverlust $x$ von dem ursprünglichen Gewicht.
  $120\, \mathrm{kg}-18\, \mathrm{kg}=102\, \mathrm{kg}$
  $\;\Rightarrow\;$ Am 1. November wiegt er noch $102\ kg$ .
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2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut $15\ \%$ an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?
  kg
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: altes Gewicht: $102\ kg$ ,
  Info: Er wiegt bis zum 1. Dezember $15\ \%$ weniger.
  Gesucht: neues Gewicht
  Dreisatz anwenden.
  Sei $x$ der Gewichtsverlust.
  $x=15\%$
  $102\, \mathrm{kg}=100\%$
  $x=\left(102\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=15{,}3\, \mathrm{kg}$
  Nun subtrahiere den Gewichtsverlust $x$ vom vorherigen Gewicht.
  $102\, \mathrm{kg}-15{,}3\, \mathrm{kg}=86{,}7\, \mathrm{kg}$
  $\Rightarrow\;$ Am 1.Dezember wiegt er noch $86{,}7\ kg$ .
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3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder $120\ kg$ an!
  Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: altes Gewicht: $86{,}7\ kg$ , neues Gewicht: $120\ kg$
  Gesucht: prozentuale Gewichtssteigerung $g$
  Dreisatz anwenden.
  $100\%=86{,}7\, \mathrm{kg}$
  $x=120\, \mathrm{kg}$
  $x$ Steigerungsfaktor.
  Bestimme die absolute Gewichtssteigerung, indem du die Differenz von $120$ und $86{,}7$ bildest.
  $120\, \text{kg}-86{,}7\, \text{kg}=33{,}3\, \text{kg}$
  Bestimme die prozentuale Gewichtssteigerung als Anteil der absoluten Gewichtssteigerung am Gesamtgewicht von $86{,}7\, \text{kg}$ .
  $g=\frac{33{,}3\, \text{kg}}{86{,}7\, \text{kg}}=\frac{111}{289}\approx38{,}4\%$
  $\Rightarrow$ In den vergangenen beiden Monaten hat er wieder um $38{,}4\ \%$ zugenommen.
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10
Ein digitales Mikroskop hat einen Knopf: "Vergrößerung um $100\ \%$ erhöhen".
1. Das Mikroskop zeigt gerade Gegenstände in ihrer Originalgröße an und du drückst den oben beschrieben Knopf drei Mal. Welche Vergrößerung ist eingestellt?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Grundwert $G = 100\%$
  Originalgröße bedeutet keine Vergrößerung, sodass der ganze ( $100\ \%$ ) Gegenstand abgebildet wird.
  Prozentsatz $p=100\ \%$
  Zunächst gesucht: vermehrter Grundwert nach einem Knopfdruck $G_1^+$
  Nach dem ersten Knopfdruck sind die $100\ \%$ "um $100\ \%$ erhöht".
  $G_1^+=G\cdot (1+p)=100\%\cdot (1+1)=200\%$
  Als Zahl ist $100\%=1$ .
  $G_2^+=G_1^+\cdot (1+p)=200\%\cdot (1+1)=400\%$
  Die aktuelle Vergrößerung wird als neuer Grundwert verwendet.
  $G_3^+=G_2^+\cdot(1+p)=400\%\cdot(1+1)=800\%$
  Ergebnis nach dreimal Drücken.
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2. Du bist bereits auf $300\ \%$ Vergrößerung und drückst erneut auf den Knopf. Welche Vergrößerung ist es diesmal?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  $G^+=300\%\cdot(1+p)=600\%$
  Gehe nach demselben Prinzip vor wie bei Teilaufgabe 1.
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3. Wie kann man die Beschriftung des Knopfes verstehen? Gib zwei Möglichkeiten an!
  
  "Wieder und wieder um $100\ \%$ erhöhen" kann missverständlich formuliert sein, weil es zwei Möglichkeiten zulässt:
  Es handelt sich immer um eine Erhöhung um $100\ \%$ des Grundwertes.
  Es handelt sich jedes Mal um eine Erhöhung um $100\ \%$ des aktuellen Wertes.
  Bei der Erstellung der Lösung ist die 2. Möglichkeit angenommen worden.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1\cdot p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
	$=$	$\displaystyle 30\ cm\cdot\left(1+100\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 30cm\cdot\left(1+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 30\ cm\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 60\ cm$

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 60\ cm\cdot\left(1+100\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 60\ cm\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 120\ cm$