Aufgaben zur Konstruktion besonderer Vierecke und zur Lösung geometrischer Problemstellungen

Winkelberechnungen am Trapez

Im Trapez $A B C D$ gelte $AB\Vert CD$ , $\alpha=32°$ , $\gamma=75°$ . Berechne $\beta$ und $\delta$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $AB\,\Vert CD$
$\quad \quad \quad\;\alpha =32°$
$\quad \quad \quad\;\gamma=75°$
Gesucht: $\,\beta,\; \delta$
Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
$\begin {array}{rcl}32°+\delta &=180°\quad|-32°\\\delta&=148°\end {array}$
$\begin {array}{rcl}75°+ \beta&= 180°\quad |-75°\\\beta &=105° \end {array}$
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Im Trapez $A B C D$ gelte $AB\,\Vert CD$ , $AD\perp BC$ , $\alpha=20°$ . Berechne $\beta,\,\gamma,\,\delta$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Gegeben: $AB\,\Vert\,CD$ (Die Figur ist ein Trapez)

$\quad \quad\quad \, AD\,\perp\,BC$ (im Punkt E steckt ein

rechter Winkel)

$\quad \quad\quad \,\alpha=20°$

Gesucht: $\;\beta,\,\gamma,\,\delta$

Erweitert man die Figur $A, B, C, D$ indem man die Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$ , wie im Bild. Die Information $AD\,\perp\,BC$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.

Winkel $\beta$

Die Figur $A, B, E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180 °$ .

$\displaystyle \alpha+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	$\alpha=20°$
$\displaystyle 20°+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -110°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 70°$

Winkel $\delta$

Oberhalb von $\delta$ ist ein Stufenwinkel von $\alpha$ . Dieser Winkel könnte zum Beispiel $\epsilon$ genannt werden. Es gilt:

\displaystyle \alpha=\epsilon

Da $\delta$ und $\epsilon$ zudem Nebenwinkel sind, gilt:

$\displaystyle \delta+\epsilon$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	$\epsilon=\alpha=20°$
$\displaystyle \delta+20°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -20°$
$\displaystyle \delta$	$=$	$\displaystyle 160°$

Winkel $\gamma$

In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360 °$ . Damit ist im Trapez:

$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta$	$=$	$\displaystyle 360°$
$\displaystyle 20°+70°+\gamma+160°$	$=$	$\displaystyle 360°$	$\displaystyle -250°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 110°$

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Im Trapez $A B C D$ gelte: $AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°$ . Berechne $\beta$ und $\gamma$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $AD\,\Vert\,BC$
$\quad \quad\quad \,\alpha=\delta=100°$
Gesucht: $\beta,\;\gamma$
Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}100°+\beta&=180°\quad |-100°\\\beta&=80°\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}100°+\gamma &=180°\quad|-100°\\\gamma &=80° \end{array}$
Anmerkung:
Das Trapez $A B C D$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[A B] = [C D]$ .
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2
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen $a-c=3\,\text{LE}$ , den Schenkellängen $b=\overline{BC}=2{,}5\,\text{LE}$ und $d=\overline{AD}=4\,\text{LE}$ sowie der Diagonalenlänge $f=\overline{BD}=5\,\text{LE}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan:
Teildreieck $E B C$ ist konstruierbar aus den Seitenlängen $a-c,\,b,\,d$ .
D liegt
a) auf der Parallelen zu $E B$ durch $C$ ,
b) auf dem Kreis k(B;f).
A liegt
a) auf der Geraden $E B$ ,
b) auf der Parallelen zu $E C$ durch $D$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegeben Werten
anhand des Applets.
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3
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus den Grundseitenlängen $\overline{AB}=a=5\,\text{cm}$ und $\overline{CD}=c=3\,\text{cm}$ sowie den Diagonalenlängen $\overline{AC}=6\,\text{cm}$ und $\overline{BD}=5\,\text{cm}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
Die Eckpunkte $A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Die Verlängerung der Grundseite $[A B]$ um $c$ über $A$ hinaus ergibt das konstruierbare Dreieck $B A^{'} D$ mit dem Eckpunkt $D$ des Trapezes.
C liegt
a) auf der Parallelen zu $A B$ durch $D$ ,
b) auf der Parallelen zu $A^{'} D$ durch $A$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegebenen Werten
$\quad \quad a=5\,\text{cm};\; c=3\,\text{cm};\;e=6\,\text{cm};\;f=5\,\text{cm}$
anhand des Applets.
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4
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus den Seitenlängen
$a=10{,}5\,\text{cm};\,b=5{,}4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4{,}8\,\text{cm}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
$A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Das Dreieck $B^{'} B C$ ist durch
$\displaystyle a-c,\,b,\,d$
konstruierbar und ergibt den Eckpunkt $C$ .
D liegt
a) auf dem Kreis $k (C; c)$ ,
b) auf dem Kreis $k (A; d)$ .
Alternative Lösung für $D$ :
a) auf der Parallelen zu $A B$ durch $C$ ,
b) auf der Parallelen zu $B^{'} C$ durch $A$ .
Durchführung der Konstrukktion mit den gegebenen Werten
$\quad \quad a=10{,}5\,\text{cm};\,b=5{,}4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4{,}8\,\text{cm}$
anhand des Applets.
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5
Zeichne zuerst die Punkte $A (5\vert8)$ , $C (5\vert1)$ und die Gerade $b : x = 7$ in ein Koordinatensystem.
1. Die Punkte $B_{1} = (7 ∣ 2)$ und $B_{2} = (7 ∣ 5)$ liegen auf der Geraden $b$ . Ergänze die Dreiecke $A B_{1} C$ und $A B_{2} C$ jeweils zu einem Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ bzw. $A B_{2} C D_{2}$ .
2. Für jeden Punkt $B_{n}$ auf der Geraden $b$ kann man das Dreieck $A B_{n} C$ zu einem Drachenviereck $A B_{n} C D_{n}$ ergänzen. Alle Punkte $D_{n}$ liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  $[A C]$ ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade $d$ gleich weit von $[A C]$ entfernt sein muss, wie die Gerade $b$ , damit ein Drachenviereck zustande kommt. $A$ und $C$ liegen beide bei $x = 5$ und $b$ bei $x = 7$ . Du spiegelst die Gerade $b$ an der Gerade $\overline{AC}$ und erhältst so die Gerade $d$ .
  $\displaystyle d:x=3$
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3. Nenne zwei Beispiele für die Punkte $B$ und $D$ , die auf den jeweiligen Geraden $b$ und $d$ liegen, dass das Drachenviereck $A B C D$ entsteht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Die Punkte $B$ und $D$ müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie $A$ und niedriger oder auf gleicher höhe wie $C$ sein.
  Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade $b$ oder $d$ platzieren. Hier ein paar Beispiele.
  $D (3\vert7)$ ; $B (7\vert7)$
  $D (3\vert6)$ ; $B (7\vert6)$
  $D (3\vert5)$ ; $B (7\vert5)$
  $D (3\vert4)$ ; $B (7\vert4)$
  $D (3\vert3)$ ; $B (7\vert3)$
  $D (3\vert2)$ ; $B (7\vert2)$
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4. Wann ist das Drachenviereck $A B C D$ eine Raute? Versuche $B$ und $D$ jetzt so zu verschieben, dass sie mit $A$ oder mit $D$ ein Dreieck bilden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Raute
  Das Viereck $A B C D$ ist eine Raute, wenn $[B D]$ auch eine Symmetrieachse von $A B C D$ ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte $B$ , $D$ an der Halbierenden der Strecke $[A C]$ liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
  $\displaystyle D(3\vert4{,}5), B(7\vert4{,}5)$
  Dreieck
  Ein Dreieck wird es dann, wenn $A$ oder $C$ auf der Strecke $[B D]$ liegt. Das passiert, wenn $B$ und $D$ auf gleicher Höhe sind wie $A$ oder $C$ .
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5. Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?
  
  Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
  $\displaystyle A_{Dreieck}=\frac12\cdot g\cdot h$
  $\displaystyle A_{Raute}=\frac12\cdot e\cdot f$
  $\displaystyle A_{Drachenviereck}=\frac12\cdot e\cdot f$
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6
Welche der folgenden Dreiecke sind zueinander kongruent? Begründe deine Antwort mit einem passenden Kongruenzsatz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenz
Um zu erkennen, dass das $\color{cc0000}{\text{rote}}$ und das $\color{660099}{\text{lila}}$ Dreieck kongruent sind, kannst du den SWS-Satz verwenden. Beide Dreiecke haben Seiten der Länge $3\ \text{cm}$ und $4\ \text{cm}$ und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel beträgt bei beiden $90 °$ .
Das $\color{006400}{\text{grüne}}$ und $\color{ff6600}{\text{orange}}$ Dreieck sind auch kongruent. Bei beiden Dreiecken hast du jeweils zwei Winkel und die dazwischenliegende Seitenlänge gegeben. Die Winkel und die Seitenlänge stimmen auch überein. Hier gilt also der WSW-Satz.
Beim $\color{009999}{\text{türkisen}}$ und $\color{000000}{\text{schwarzen}}$ Dreieck hast du jeweils alle drei Seitenlängen gegeben. Weil diese alle miteinander übereinstimmen, kannst du mit dem SSS-Satz feststellen, dass sie kongruent sind.
Bei beiden Dreiecken hast du auch jeweils alle Winkel gegeben, du könntest statt dem SSS-Satz also auch einen beliebigen anderen Kongruenzsatz verwenden, um festzustellen, dass die Dreiecke kongruent sind.
Das $\color{006400}{\text{grüne}}$ und $\color{660099}{\text{lila}}$ Dreieck sind nicht kongruent. Da der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber liegt, ist beim $\color{006400}{\text{grünen}}$ Dreieck die Seite gegenüber dem Winkel $51,34 °$ länger als $4\ \text{cm}$ . Aber beim $\color{660099}{\text{lilanen}}$ Dreieck hast du als Seitenlänge einmal $4\ \text{cm}$ und einmal $3\ \text{cm}$ gegeben. Somit stimmen die Seiten der beiden Dreiecke nicht überein und die Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.
Wirf einen Blick auf die Kongruenzsätze und überlege dir für die einzelnen Dreiecke, welchen du verwenden könntest.