Aufgaben zum Aufstellen von Gleichungen

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Bei einer Tombola wurden $\frac23$ der Lose an Kinder und $\frac14$ der Lose an Erwachsene verkauft. Es blieben 100 Lose übrig. Wie viele Lose wurden verkauft?

Lose

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Gesucht: Anzahl der verkauften Lose

Wir würden die Anzahl der verkauften Lose kennen, wenn wir die Gesamtzahl der Lose kennen würden (da 100 Lose nicht verkauft wurden).

$x\equiv$ Gesamtanzahl der Lose

Die Angabe gibt Bruchteile von der Gesamtzahl der Lose an. Deshalb wählt man dies als Variable und nicht die Anzahl der verkauften Lose.

Gegeben:

Anteil der verkauften Lose an Kinder: $\dfrac{2}{3}\cdot x$
Anteil der verkauften Lose an Erwachsene: $\dfrac14\cdot x$
Nicht verkaufte Lose: 100

Die Gesamtzahl der Lose ist also:

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac23\cdot x+\dfrac14\cdot x+100$	$\displaystyle - \dfrac23 \cdot x\ -\dfrac14 \cdot x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x-\dfrac23\cdot x-\dfrac14\cdot x$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	x ausklammern.
$\displaystyle x\cdot(1-\dfrac23-\dfrac14)$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Klammer auf gemeinsamen Hauptnenner bringen.
$\displaystyle x\cdot(\dfrac{12}{12}-\dfrac8{12}-\dfrac3{12})$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Klammer ausrechnen
$\displaystyle x\cdot(\dfrac1{12})$	$=$	$\displaystyle 100$	$\displaystyle \cdot 12$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1200$

Insgesamt gab es also $1200$ Lose. $100$ Lose wurden nicht verkauft, also wurden insgesamt $1200 - 100 = 1100$ Lose verkauft.

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Aus einem Draht von einem Meter Länge wurde das Kantenmodell eines Würfels gebaut. Es blieb ein Reststück von 4,0 cm. Wie lang ist eine Würfelkante?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge $x$ :

$\displaystyle 1\,\mathrm m-12\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}04\,\mathrm m$	$\displaystyle +(12x-0{,}04\,\mathrm m)$
$\displaystyle 0{,}96\,\mathrm m$	$=$	$\displaystyle 12x$	$\displaystyle \div 12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}08\,\mathrm m=8\,\mathrm{cm}$

$\Rightarrow$ Eine Würfelkante ist also $8\,\mathrm{cm}$ lang.

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