Aufgaben zur Unterscheidung von Zufalls- und Laplace-Experimenten

Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1,2,3,4,5,21\{,\}2,3\{,\}4,5\{,\}2$ versehen ist.

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Es ist zwar

(Kurzschreibweise für: $P(\left\{1\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=\frac{1}{6}P(\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \})=P(\backslash left\backslash \{3\backslash right\backslash \})=P(\backslash left\backslash \{4\backslash right\backslash \})=P(\backslash left\backslash \{5\backslash right\backslash \})=\backslash frac16$),

d.h. man würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}\backslash frac16$ eine $1,3,4\text{oder}51\{,\}3,4\; \backslash ,\; \backslash text\{oder\}\; \backslash ,\; 5$,

aber die Wahrscheinlichkeit eine $22$ zu würfeln, ist $P(\left\{2\right\})=\frac{2}{6}\mathrm{\ne }\frac{1}{6}P(\backslash left\backslash \{2\backslash right\backslash \})=\backslash frac26\; \backslash ne\; \backslash frac16$.

Die $22$ kommt nämlich zweimal in der Grundmenge $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,2\}\backslash Omega=\; \backslash left\backslash \{1\{,\}2,3\{,\}4,5\{,\}2\backslash right\backslash \}$ vor.

Werfen einer Münze

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Denn die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu würfeln, ist jeweils $\frac{1}{2}\backslash frac12$, so dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Solche Münzen werden daher oft als Laplace-Münzen bezeichnet.

Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1,3,5,7,9,111\{,\}3,5\{,\}7,9\{,\}11$ versehen.

Dies ist ein Laplace-Experiment, denn $P(\omega )=\frac{1}{6}P(\backslash omega)=\backslash frac16$ für alle $\omega \in \mathrm{\Omega }\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$, wobei $\mathrm{\Omega }=\{1,3,5,7,9,11\}\backslash Omega=\; \backslash left\backslash \{1\{,\}3,5\{,\}7,9\{,\}11\backslash right\backslash \}$. Die Elementarereignisse haben also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten

Dies ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen jeder einzelnen Karte $\frac{1}{52}\backslash frac\{1\}\{52\}$ beträgt.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Hier unterscheidetman wiederum gedanklich die $1010$ einzelnen Kugeln, sodass jede Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{10}\backslash frac\{1\}\{10\}$ gezogen wird.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind.

Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen, beträgt nämlich $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\backslash frac\{6\}\{10\}=\backslash frac\{3\}\{5\}$ und die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus der Urne zu ziehen, ist $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\backslash frac\{4\}\{10\}=\backslash frac\{2\}\{5\}$.

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Denn alle Felder sind gleich groß und haben jeweils unterschiedliche Farben.

Somit haben alle Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe $xx$" die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Denn alle Felder sind gleich groß und jede Farbe kommt genau 2 Mal vor.

Somit sind die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe $xx$" gleich groß.

Dies ist kein Laplace-Experiment.

Zunächst einmal stellt man fest, dass alle Felder gleich groß sind. Aber es gibt hier z.B. 4 rote und 3 grüne Felder, sodass das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe rot" und das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe grün" nicht gleich wahrscheinlich sein können. Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu drehen, ist nämlich größer als ein grünes Feld zu drehen.

Ähnliches erhält man, wenn man die Wahrscheinlichkeit vom roten und lila Feld bzw. die Wahrscheinlichkeit vom grünen und lila Feld vergleicht.

Die folgende Lösung ist eine mögliche Lösung. Du hast weitere Ideen? Schreib sie uns doch in die Kommentare!

Ein Glücksrad hat 5 Sektoren (Felder).

Diese sind jedoch unterschiedlich groß. Deshalb ist es zum Beispiel wahrscheinlicher, eine 5 zu drehen als eine 1.

Es handelt sich also nicht um ein Laplace-Experiment.