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Zwei zueinander senkrechte Ebenen

Zwei Ebenen können sich in verschiedenen Lagen zueinander befinden. Sie können bspw. senkrecht aufeinander stehen, siehe Abbildung.

Das bedeutet nicht, dass jeder Vektor der ersten Ebene senkrecht auf einem Vektor der zweiten Ebene steht.

Sie schneiden sich zwangsläufig in einer Schnittgerade.

Wie man bestimmt, ob zwei Ebenen aufeinander senkrecht stehen hängt von der Form ab, in der sie gegeben sind.

Normalform

Sind zwei Ebenen in der Normalform gegeben, dann stehen sie aufeinander senkrecht , wenn ihre Normalvektoren aufeinander senkrecht stehen (siehe " Bei Vektoren "):

 

E1:  n1x=a1              (a1R)E2:  n2x=a2              (a2R)E1E2n1n2=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}E_1:\;{\vec n}_1\cdot\vec x=a_1\;\;\;\;\;\;\;(a_1\in ℝ)\\E_2:\;{\vec n}_2\cdot\vec x=a_2\;\;\;\;\;\;\;(a_2\in ℝ)\\\\E_1\perp E_2\Leftrightarrow{\vec n}_1\cdot{\vec n}_2=0\end{array}

 

Beispiel

Die Ebenen E1:2x1+x2+3x3=4E2:x1x2+x3=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l l} E_1&:& -2&x_1&+&x_2&+3&x_3&&=&-4\\ E_2&:&&x_1&-&x_2&+&x_3&&=&1 \end{array}

besitzen die Normalenvektoren:

Da ihr Skalarprodukt 00 ergibt, stehen E1,E2E_1,E_2 senkrecht aufeinander.

Schreibe E1E2E_1\perp E_2.

Parameterform

Sind die Ebenen in der Parameterform gegeben, so ist es am einfachsten, mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Richtungsvektoren die Normalvektoren zu bestimmen. Die können wie im oberen Beispiel auf Orthogonalität überprüft werden:

 

E1:x=r1+λa1+μb1E2:x=r2+λa2+μb2            (λ,μ  R;    a1,a2,b1,b20)E1E2(a1×b1)(a2×b2)=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}E_1:\vec x={\vec r}_1+\lambda{\vec a}_1+\mu{\vec b}_1\\E_2:\vec x={\vec r}_2+\lambda{\vec a}_2+\mu{\vec b}_2\;\;\;\;\;\;(\lambda,\mu\;\in ℝ;\;\;{\vec a}_1,{\vec a}_2,{\vec b}_1,{\vec b}_2\neq\vec0)\\\\E_1\perp E_2\Leftrightarrow({\vec a}_1\times{\vec b}_1)\cdot({\vec a}_2\times{\vec b}_2)=0\end{array}

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

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