Zwei zueinander senkrechte Ebenen

Wie man bestimmt, ob zwei Ebenen aufeinander senkrecht stehen hängt von der Form ab, in der sie gegeben sind.

Normalform

Sind zwei Ebenen in der Normalform gegeben, dann stehen sie aufeinander senkrecht , wenn ihre Normalvektoren aufeinander senkrecht stehen (siehe " Bei Vektoren "):

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}E_1:\;{\vec n}_1\circ\vec x=a_1\;\;\;\;\;\;\;(a_1\in ℝ)\\E_2:\;{\vec n}_2\circ\vec x=a_2\;\;\;\;\;\;\;(a_2\in ℝ)\\\\E_1\perp E_2\Leftrightarrow{\vec n}_1\circ{\vec n}_2=0\end{array}$

Beispiel

Die Ebenen $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l l} E_1&:& -2&x_1&+&x_2&+3&x_3&&=&-4\\ E_2&:&&x_1&-&x_2&+&x_3&&=&1 \end{array}$

besitzen die Normalenvektoren:

Da ihr Skalarprodukt $0$ ergibt, stehen $E_1,E_2$ senkrecht aufeinander.

Schreibe $E_1\perp E_2$.

Parameterform

Sind die Ebenen in der Parameterform gegeben, so ist es am einfachsten, mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Richtungsvektoren die Normalvektoren zu bestimmen. Die können wie im oberen Beispiel auf Orthogonalität überprüft werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}E_1:\vec x={\vec r}_1+\lambda{\vec a}_1+\mu{\vec b}_1\\E_2:\vec x={\vec r}_2+\lambda{\vec a}_2+\mu{\vec b}_2\;\;\;\;\;\;(\lambda,\mu\;\in ℝ;\;\;{\vec a}_1,{\vec a}_2,{\vec b}_1,{\vec b}_2\neq\vec0)\\\\E_1\perp E_2\Leftrightarrow({\vec a}_1\times{\vec b}_1)\circ({\vec a}_2\times{\vec b}_2)=0\end{array}$