Extremwertaufgabe

Eine Extremwertaufgabe ist eine Problem- oder Fragestellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert, oder minimiert werden soll.

Typische Fragestellungen

Forme aus einem $\sf 20\,{cm}$ langen Draht ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.
Aus einer Holzplatte von der Form eines halben Quadrats mit Seitenlänge $\sf 1\,$ m soll ein möglichst großes Rechteck ausgeschnitten werden.
Für welche ganze Zahl ist das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger am kleinsten?

Vorgehensweise

1. Zielfunktion:

Formuliere die Funktion die das beschreibt, was zu maximieren ist.

2. Nebenbedingung(en):

Formuliere die Bedingung/en unter der/denen die Funktion maximiert werden soll.

3. Extremalfunktion:

Formuliere die zu maximierende Funktion, indem die Nebenbedingung/en (umgeformt) in die Zielfunktion eingesetzt wird/werden.

Was ist der Definitionsbereich der Zielfunktion?

$\sf \rightarrow$ Welche Werte sind sinnvoll und möglich? Zum Beispiel sind negative Längen unsinnig.

4. Extremwert bestimmen:

Bestimme das Extremum der Funktion. Bei einer Maximierungsaufgabe muss ein Hochpunkt der Funktion gefunden werden, bei einer Minimierung ein Tiefpunkt.

$\sf \Rightarrow$ Ist der Extremwert im Definitionsbereich?

5. Lösung angeben:

Um die komplette Lösung anzugeben muss noch die Variable bestimmt werden, die vorher beim Einsetzen ersetzt wurde.

Beispiel

Aufgabenstellung:

Forme aus einem $\sf 20\,{cm}$ langen Draht ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.

1. Zielfunktion

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite. Wir nennen hier die Länge x und die Breite y.

2. Nebenbedingung

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Für den Umfang eines Rechtecks gilt: $\sf U=2\cdot(x+y)$ .

Nun setzt man die $\sf 20\,{cm}$ als Bedingung für den Umfang ein und erhält die Nebenbedingung.

3. Extremalfunktion

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Um die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen, kann man sie nach einer Variablen auflösen.

Wir lösen hier nach $\sf y$ auf.

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Diese umgeformte Nebenbedingung muss nun in die Zielfunktion eingesetzt werden.

$\sf E=x\cdot y$ mit $\sf y=10\,{cm}-x$

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Der Definitionsbereich der Variablen $\sf x$ ist das Intervall

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Für $\sf x=0\,{cm}$ und für $\sf x=10\,{cm}$ ergäbe sich als "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $\sf 0\,{cm}^2$ ) eine Doppelstrecke der Länge $\sf 10\,{cm}.$

4. Extremwert bestimmen…

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

mit der Ableitung

Die Funktion $\sf E=-x^2+10\,{cm}\cdot x$ soll maximiert werden. Bilde dazu die erste und zweite Ableitung der Funktion $\sf E$ .

$\sf E'=-2x+10\,{cm}$ und $\sf E''=-2$ .

Man sieht hier schon, dass der Extremwert auf jeden Fall ein Maximum sein muss, da die 2. Ableitung immer negativ ist.

Um den Extremwert zu finden setze die 1. Ableitung gleich Null.

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Dieser Extremwert ist im Definitionsbereich und ein Hochpunkt.

mit quadratischer Ergänzung

Die Funktion $\sf E=-x^2+10\,{cm}\cdot x$ soll maximiert werden. Klammere zuerst (-1) aus:

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Der gemischte Term lautet $\sf -10\, {cm}\cdot x$ .

Ergänze also mit $\sf \left(5\,{cm}\right)^2$ .

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Das Extremum erhält man für $\sf x=5\,\text{\sf cm}$ und es ist ein Maximum, da vor der Klammer ein - steht.

5. Lösung angeben

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Bisher wissen wir nur, dass die Länge $\sf x$ des maximal großen Drahtrechtecks $\sf 5{cm}$ betragen muss.

Um die Breite zu bestimmen setzen wir $\sf x=5\,{cm}$ in die Nebenbedingung ein.

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

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\displaystyle \sf E=x\cdot y

Wir erhalten also als flächengrößtes Rechteck ein Quadrat mit Seitenlänge $\sf 5\,{cm}$ .

Verschiebe im nachfolgenden Applet den Gleitpunkt $\sf P$ und kontrolliere das Ergebnis.

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Hinweis

Meist verzichtet man bei der Lösung anwendungsbezogener Extremwertaufgaben bei der Angabe der Zielfunktion auf Benennungen der verwendeten Größen und begnügt sich mit den Maßzahlen. Dies erleichtert den Umgang mit den Funktionen.

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