Extremwertaufgabe

1. Zielfunktion:

Formuliere die Funktion die das beschreibt, was zu maximieren ist.

2. Nebenbedingung(en):

Formuliere die Bedingung/en unter der/denen die Funktion maximiert werden soll.

3. Extremalfunktion:

Formuliere die zu maximierende Funktion, indem die Nebenbedingung/en (umgeformt) in die Zielfunktion eingesetzt wird/werden.

Was ist der Definitionsbereich der Zielfunktion?

$\to$ Welche Werte sind sinnvoll und möglich? Zum Beispiel sind negative Längen unsinnig.

4. Extremwert bestimmen:

Bestimme das Extremum der Funktion. Bei einer Maximierungsaufgabe muss ein Hochpunkt der Funktion gefunden werden, bei einer Minimierung ein Tiefpunkt.

$\Rightarrow$ Ist der Extremwert im Definitionsbereich?

5. Lösung angeben:

Um die komplette Lösung anzugeben, muss noch die Variable bestimmt werden, die vorher beim Einsetzen ersetzt wurde.

1. Zielfunktion

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite. Nenne hier die Länge x und die Breite y:

$E=x\cdot y$

2. Nebenbedingung

Für den Umfang eines Rechtecks gilt: $U=2\cdot (x+y)$.

Nun setzt man die $20\mathrm{cm}$ als Bedingung für den Umfang ein und erhält die Nebenbedingung:

$20\mathrm{cm}=2\cdot (x+y)$

3. Extremalfunktion

Um die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen, kann man sie nach einer Variablen auflösen.

Man löst hier nach $y$ auf.

$\begin{array}{ccc}& 20\mathrm{cm}=2\cdot (x+y)& |÷2\\ \iff & 10\mathrm{cm}=x+y& |-x\\ \iff & y=10\mathrm{cm}-x& \end{array}$

Diese umgeformte Nebenbedingung muss nun in die Zielfunktion eingesetzt werden.

$E=x\cdot y$ mit $y=10\mathrm{cm}-x$

$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& E=x\cdot (10\mathrm{cm}-x)\\ \iff & E=-x^2+10\mathrm{cm}\cdot x\end{array}\end{array}$

Der Definitionsbereich der Variablen $x$ ist das Intervall

Für $x=0\mathrm{cm}$ und für $x=10\mathrm{cm}$ ergäbe sich als "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $0{\mathrm{cm}}^2$) eine Doppelstrecke der Länge $10\mathrm{cm}.$

4. Extremwert bestimmen…

Den Extremwert $x=5\mathrm{cm}$ kannst du je nach deinen Fertigkeiten und Vorlieben mit unterschiedlichen Wegen bestimmen.

5. Lösung angeben

Bisher weißt du nur, dass die Länge $x$ des maximal großen Drahtrechtecks $5\mathrm{cm}$ betragen muss.

Um die Breite zu bestimmen, setze $x=5\mathrm{cm}$ in die Nebenbedingung ein.

$y=10\text{cm}-x$

$y=10\text{cm}-5\text{cm}=5\text{cm}$

Wir erhalten also als flächengrößtes Rechteck ein Quadrat mit Seitenlänge $5\mathrm{cm}$.