Extremwertaufgabe

1. Zielfunktion:

Formuliere die Funktion die das beschreibt, was zu maximieren ist.

2. Nebenbedingung(en):

Formuliere die Bedingung/en unter der/denen die Funktion maximiert werden soll.

3. Extremalfunktion:

Formuliere die zu maximierende Funktion, indem die Nebenbedingung/en (umgeformt) in die Zielfunktion eingesetzt wird/werden.

Was ist der Definitionsbereich der Zielfunktion?

$\rightarrow$ Welche Werte sind sinnvoll und möglich? Zum Beispiel sind negative Längen unsinnig.

4. Extremwert bestimmen:

Bestimme das Extremum der Funktion. Bei einer Maximierungsaufgabe muss ein Hochpunkt der Funktion gefunden werden, bei einer Minimierung ein Tiefpunkt.

$\Rightarrow$ Ist der Extremwert im Definitionsbereich?

5. Lösung angeben:

Um die komplette Lösung anzugeben, muss noch die Variable bestimmt werden, die vorher beim Einsetzen ersetzt wurde.

1. Zielfunktion

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite. Nenne hier die Länge x und die Breite y:

$E=x\cdot y$

2. Nebenbedingung

Für den Umfang eines Rechtecks gilt: $U=2\cdot(x+y)$.

Nun setzt man die $20\,\mathrm{cm}$ als Bedingung für den Umfang ein und erhält die Nebenbedingung:

$20\,\mathrm{cm}=2\cdot(x+y)$

3. Extremalfunktion

Um die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen, kann man sie nach einer Variablen auflösen.

Man löst hier nach $y$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}\;&20\,\mathrm{cm}=2\cdot(x+y)&\;\left|{\div2}\right.\;\\\Leftrightarrow&10\,\mathrm{cm}=x+y&\;\left|{-x}\right.\;\\\Leftrightarrow&y=10\,\mathrm{cm}-x&\;\end{array}$

Diese umgeformte Nebenbedingung muss nun in die Zielfunktion eingesetzt werden.

$E=x\cdot y$ mit $y=10\,\mathrm{cm}-x$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{cc}\;&E=x\cdot(10\,\mathrm{cm}-x)\\\Leftrightarrow&E=-x^2+10\,\mathrm{cm}\cdot x\end{array}\end{array}$

Der Definitionsbereich der Variablen $x$ ist das Intervall

Für $x=0\,\mathrm{cm}$ und für $x=10\,\mathrm{cm}$ ergäbe sich als "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $0\,\mathrm{cm}^2$) eine Doppelstrecke der Länge $10\,\mathrm{cm}.$

4. Extremwert bestimmen…

Den Extremwert $x=5\,\mathrm{cm}$ kannst du je nach deinen Fertigkeiten und Vorlieben mit unterschiedlichen Wegen bestimmen.

5. Lösung angeben

Bisher weißt du nur, dass die Länge $x$ des maximal großen Drahtrechtecks $5\mathrm{cm}$ betragen muss.

Um die Breite zu bestimmen, setze $x=5\,\mathrm{cm}$ in die Nebenbedingung ein.

$y=10\,\text{cm}-x$

$y=10\,\text{cm}-5\,\text{cm}=5\,\text{cm}$

Wir erhalten also als flächengrößtes Rechteck ein Quadrat mit Seitenlänge $5\,\mathrm{cm}$.