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Analysis A1.1

Für jedes k>0k > 0 ist eine Funktion fkf_k festgelegt durch

Ihr Schaubild sei CkC_k.

a) Skizzieren Sie für k=0,5,    k=1k = 0{,}5,\;\; k = 1 und k=2k =2 die Schaubilder CkC_k in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Zeigen Sie, dass C1C_1 achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Bestimmen Sie den Tiefpunkt von C1C_1.

b) Das Schaubild CkC_k schließt mit der xx-Achse und den Geraden x=0x = 0 und x=1/kx = 1/k eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Eine Hängebrücke in einem Klettergarten wird durch die untere Skizze dargestellt.

Bild

c) Das Profil der Brücke soll durch den Graphen der Funktion g(x)=aekx+ekx2kg(x)=a\cdot \dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k} (xx und yy in mm) beschrieben werden. Bestimmen Sie aa und kk.

d) Bestimmen Sie unter welchem Winkel die Brücke im Punkt AA auf die waagrechte Plattform trifft.

e) Zur Stabilisierung der Brücke wird im Punkt BB ein Halteseil am Boden befestigt und senkrecht im Punkt PP an die Brücke angebracht. Bestimmen Sie die Koordinaten des Befestigungspunktes PP.