Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)+v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)=3\cdot e^{-2x}$

Die $3$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $e^{-2x}$ ist $-\dfrac{1}{2} e^{-2x}$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;U(x)=3\cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)e^{-2x}=-\dfrac{3}{2} e^{-2x}$

$v(x)=\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x}$

Die $\dfrac{1}{2}$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $\dfrac{1}{x}$ ist $\ln|x|$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;V(x)=\dfrac{1}{2} \ln|x|$

Eine Stammfunktion ist also:

Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)$+$v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)=\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$

Zu $x^{-2}$ ist $-x^{-1}$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;U(x)=-x^{-1}$

$v(x)=x$

Zu $x$ ist $\frac{1}{2}\cdot x^2$ eine Stammfunktion $\;\;\Rightarrow\;\;V(x)=\frac{1}{2}x^2$

Die Menge aller Stammfunktionen ist also:

Gesucht ist die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Schaubild den Punkt $(1|0)$ enthält, d.h.

$F(1)=0\;\;\Rightarrow\;\;0=-1^{-1}+\frac{1}{2}1^2+C$

$0=-1+\frac{1}{2}+C\;\Rightarrow\;0=-\frac{1}{2}+C\;\Rightarrow\;C=\frac{1}{2}$

$\displaystyle F(x)=-x^{-1}+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$ oder $\displaystyle F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$

Berechne die Ableitung von $F(x):$

Beachte, dass es sich bei $F(x )$ um eine verkettete Funktion handelt.

Zerlege die Funktion $F(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion $g(x)=\ln(x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=1+x²$

Es gilt also: $F(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g'(x)=\dfrac{1}{x}$ und $h'(x)=2x$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$F'(x)=\dfrac{1}{1+x²}\cdot 2x=2 \cdot \dfrac{x}{1+x²}=f(x)$

Antwort: Damit ist gezeigt, dass $F(x) = \ln(1+x²)$ eine Stammfunktion von $f(x) =2\cdot \dfrac{x}{1+x²}$ ist.

Eine Stammfunktion zu $\dfrac{3}{x}$ ist $3\cdot\ln|x|$und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$.

$\Rightarrow\;\;\int_{1}^{e} \left(\dfrac{3}{x}-1\right) \mathrm{d}x=\left[3\cdot\ln|x|-x\right]_{1}^{e}$

$=(3\cdot\underbrace{\ln|e|}_{1}-e)-(3\cdot \underbrace{\ln|1|}_{0}-1)=3-e+1=4-e$

Eine Stammfunktion zu $\sin(2x)$ ist $-\frac{1}{2}\cos(2x)$ und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$.

$\Rightarrow\;\;\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin(2x)+1) \mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{2}\cos(2x)+x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$=(-\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\cos(2\cdot\frac{\pi}{4})}_{0}+\frac{\pi}{4})-(-\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\cos(2\cdot 0)}_{1}+0)$

$=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}$

Berechne die eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von $k$.

$A(k)=\int_{k}^{4} \left(\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d}x=\left[8\cdot \sqrt{x}\right]_{k}^{4}$

$=(8\cdot \sqrt{4})-(8\cdot \sqrt{k})=16-8\cdot \sqrt{k}$

Berechne nun den Grenzwert von $A(k)$ für $k\rightarrow0$

$A=\lim_{k\rightarrow0}(16-8\cdot \sqrt{k})=16$

Antwort: Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt $A=16 \;\text{FE}$.