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Stammfunktion und Integral

  1. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=3e2x+12xf(x) = 3\cdot e^{-2x}+\dfrac{1}{2x}.

    Bestimmen Sie eine Stammfunktion FF von ff.

  2. Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=1x2+xf(x)=\dfrac{1}{x^2}+x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion FF von ff, deren Schaubild den Punkt (10)(1|0) enthält.

  3. Zeigen Sie, dass F(x)=ln(1+x2)F(x) = \ln(1+x²) eine Stammfunktion von f(x)=2x1+x2f(x) =2\cdot \dfrac{x}{1+x²} ist.

  4. Berechnen Sie das Integral 1e(3x1)dx\displaystyle \int_1^e\left(\frac{3}{x}-1\right)\mathrm{d}x.

  5. Berechnen Sie das Integral 0π4(sin(2x)+1)  dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin(2x)+1)\;\mathrm{d}x.

  6. Die Funktion f mit f(x)=4xf(x) =\dfrac{4}{\sqrt{x}} schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4x = 4 und der y-Achse eine nach oben offene Fläche ein (siehe Skizze). Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.

    Funktion