Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Gleichungslehre

Lösen Sie die Gleichung $x^{5} + 2 x^{3} - 3 x = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^5 + 2x^3- 3x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x(x^4+2x^2-3)$
	↓	Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^2-3$
	↓	Substituiere $x^{2} = z$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle z^2+2z-3$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 2$ und $q = - 3$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 2$ und $q = - 3$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -1\pm\sqrt{1+3}$
	$=$	$\displaystyle -1\pm2$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 1$

Rücksubstituieren

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $x^{2} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; x^2=-3$ und $\mathrm{(II)}\;x^2=1$

Die Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat keine reelle Lösung und Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat die beiden Lösungen $x_{2} = - 1$ und $x_{3} = 1$ .

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1;0;1\}$ .

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Lösen Sie die Gleichung $(2x^2 – 50) \cdot (e^{2x} – 7) = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt

Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ .

Also ist entweder $\mathrm{(I)}\;2x^2 – 50=0$ oder $\mathrm{(II)}\;e^{2x} – 7=0$

Lösung für Gleichung $\mathrm{(I)}$ :

$\displaystyle 2x² – 50$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +50$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf.
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 5$

Lösung für Gleichung $\mathrm{(II)}$ :

$\displaystyle e^{2x} – 7$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +7$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln(e^{2x})$	$=$	$\displaystyle \ln(7)$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln(7)$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\ln(7)$

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-5;\frac{1}{2}\ln(7);5\}$ .

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Lösen Sie die Gleichung $e^x+3-10\cdot e^{-x}=0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle e^x+3-10\cdot e^{-x}$	$\displaystyle \cdot e^x$
	↓	Multipliziere mit $e^{x}$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle e^{2x}+3\cdot e^{x}-10$
	↓	Substituiere $e^{x} = z$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle z^2+3z-10$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 3$ und $q = - 10$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 3$ und $q = - 10$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-10)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+10}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{7}{2}$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Rücksubstituieren

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $e^{x} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; e^x=-5$ und $\mathrm{(II)}\;e^x=2$

Die Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat keine Lösung ( $e^{x}$ ist für alle $x$ immer $> 0$ ) und Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat die Lösung $x=\ln(2)$ .

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\ln(2)\}$ .

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Lösen Sie die Gleichung $(e^{-x} - 3 )^2 = 4.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung

$\displaystyle (e^{-x} - 3 )^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle e^{-x} - 3$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle e^{-x} - 3$	$=$	$\displaystyle +2$

Du hast zwei Gleichungen erhalten:

$\mathrm{(I)}\; e^{-x}-3=-2$ und $\mathrm{(II)}\; e^{-x}-3=2$

Lösung für Gleichung $\mathrm{(I)}$ :

$\displaystyle e^{-x}-3$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle e^{-x}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \ln(1)$
	↓	$\ln(1)=0$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Lösung für Gleichung $\mathrm{(II)}$ :

$\displaystyle e^{-x}-3$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle e^{-x}$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \ln(5)$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\ln(5)$

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-\ln(5);0\}$ .

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Lösen Sie für $0\leq x\leq2\pi$ die Gleichung $(\sin(x))^2- 2\sin(x) = 3.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung

$\displaystyle (\sin(x))^2- 2\sin(x)$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle (\sin(x))^2- 2\sin(x) -3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\sin(x)$ =z.
$\displaystyle z^2-2z-3$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 2$ und $q = - 3$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 2$ und $q = - 3$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-2)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1\pm\sqrt{1+3}$
	$=$	$\displaystyle 1\pm2$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 3$

Rücksubstituieren

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $\sin(x)=z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; \sin(x)=-1$ und $\mathrm{(II)}\;\sin(x)=3$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat die Lösung $x=\dfrac{3}{2}\pi$ .

Die Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat keine Lösung, da für alle $x$ gilt $-1\leq \sin(x) \leq 1$ ).

Antwort: Die Gleichung hat im Bereich $0\leq x\leq2\pi$ die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\frac{3}{2}\pi\}$ .

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Lösen Sie die Gleichung $\dfrac{2}{x²} +\dfrac{1}{x}= 1.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung

$\displaystyle \dfrac{2}{x²} +\dfrac{1}{x}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot x^2$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $x^{2}$ .
$\displaystyle 2+x$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle -2-x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-x-2$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 1$ und $q = - 2$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 1$ und $q = - 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-(-2)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1;2\}$ .

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Lösen Sie die Gleichung $1 −\dfrac{5}{e^{x}}+\dfrac{4}{e^{2x}}=0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1 −\dfrac{5}{e^{x}}+\dfrac{4}{e^{2x}}$	$\displaystyle \cdot e^{2x}$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $e^{2x}$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle e^{2x}-5e^{x}+4$
	↓	Substituiere $e^{x} = z$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle z^2-5z+4$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 5$ und $q = 4$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 5$ und $q = 4$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-5)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2}$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4$

Rücksubstituieren

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $e^{x} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $\mathrm{(I)}\; e^x=1$ und $\mathrm{(II)}\;e^x=4$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat die Lösung $x = 0$ .

Die Gleichung $\mathrm{(II)}$ hat die Lösung $x=\ln(4)$ .

Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{0;\ln(4)\}$ .

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Lösen Sie für $0 \leq x\leq2\pi$ die Gleichung $\cos(x)·(e^{-2x+1} + 1) = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ .
Also ist entweder $\mathrm{(I)}\;\cos(x)=0$ oder $\mathrm{(II)}\;e^{-2x+1} + 1=0$
Lösung für Gleichung $\mathrm{(I)}$ :
Im Bereich $0 \leq x\leq2\pi$ ist $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ und $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$
$\Rightarrow\; x_1=\frac{\pi}{2}\; \text{und}\; x_2=\frac{3\pi}{2}$
Lösung für Gleichung $\mathrm{(II)}$ :
$e^{-2x+1} + 1=0 \;\;\Rightarrow\;\mathrm{(II')}\;e^{-2x+1}=-1$
Die Gleichung $\mathrm{(II')}$ hat keine Lösung ( $e^{-2x+1}$ ist für alle $x$ immer $> 0$ ).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\}$ .
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