Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Gleichungslehre

Lösen Sie die Gleichung $x^{5} + 2 x^{3} - 3 x = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
$0$ $=$ $x^{5} + 2 x^{3} - 3 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)$
↓
Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$x_{1}$ $=$ $0$
$0$ $=$ $x^{4} + 2 x^{2} - 3$
↓
Substituiere $x^{2} = z$ .
$0$ $=$ $z^{2} + 2 z - 3$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 2$ und $q = - 3$
$z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 2$ und $q = - 3$ ein.
$=$ $- \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 3)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $- 1 \pm \sqrt{1 + 3}$
$=$ $- 1 \pm 2$
$z_{1}$ $=$ $- 3$
$z_{2}$ $=$ $1$
Rücksubstituieren
Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $x^{2} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) x^{2} = - 3$ und $(I I) x^{2} = 1$
Die Gleichung $(I)$ hat keine reelle Lösung und Gleichung $(I I)$ hat die beiden Lösungen $x_{2} = - 1$ und $x_{3} = 1$ .
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- 1; 0; 1}$ .
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Lösen Sie die Gleichung $(2 x^{2} – 50) \cdot (e^{2 x} – 7) = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ .
Also ist entweder $(I) 2 x^{2} – 50 = 0$ oder $(I I) e^{2 x} – 7 = 0$
Lösung für Gleichung $(I)$ :
$2 x^{2} – 50$ $=$ $0$ $+ 50$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$ $=$ $50$ $: 2$
$x^{2}$ $=$ $25$ $\sqrt{}$
$x_{1}$ $=$ $- 5$
$x_{2}$ $=$ $5$
Lösung für Gleichung $(I I)$ :
$e^{2 x} – 7$ $=$ $0$ $+ 7$
↓
Löse nach $x$ auf.
$e^{2 x}$ $=$ $7$ $\ln$
$\ln (e^{2 x})$ $=$ $\ln (7)$
$2 x$ $=$ $\ln (7)$ $: 2$
$x_{3}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- 5; \frac{1}{2} \ln (7); 5}$ .
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Lösen Sie die Gleichung $e^{x} + 3 - 10 \cdot e^{- x} = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$0$ $=$ $e^{x} + 3 - 10 \cdot e^{- x}$ $\cdot e^{x}$
↓
Multipliziere mit $e^{x}$ .
$0$ $=$ $e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} - 10$
↓
Substituiere $e^{x} = z$ .
$0$ $=$ $z^{2} + 3 z - 10$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 3$ und $q = - 10$
$z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 3$ und $q = - 10$ ein.
$=$ $- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 10}$
$=$ $- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$
$=$ $- \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}$
$z_{1}$ $=$ $- 5$
$z_{2}$ $=$ $2$
Rücksubstituieren
Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $e^{x} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) e^{x} = - 5$ und $(I I) e^{x} = 2$
Die Gleichung $(I)$ hat keine Lösung ( $e^{x}$ ist für alle $x$ immer $> 0$ ) und Gleichung $(I I)$ hat die Lösung $x = \ln (2)$ .
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {\ln (2)}$ .
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Lösen Sie die Gleichung $(e^{- x} - 3)^{2} = 4.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
$(e^{- x} - 3)^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$e^{- x} - 3$ $=$ $- 2$
$e^{- x} - 3$ $=$ $+ 2$
Du hast zwei Gleichungen erhalten:
$(I) e^{- x} - 3 = - 2$ und $(I I) e^{- x} - 3 = 2$
Lösung für Gleichung $(I)$ :
$e^{- x} - 3$ $=$ $- 2$ $+ 3$
↓
Löse nach $x$ auf.
$e^{- x}$ $=$ $1$ $\ln$
$- x$ $=$ $\ln (1)$
↓
$\ln (1) = 0$ .
$x$ $=$ $0$
Lösung für Gleichung $(I I)$ :
$e^{- x} - 3$ $=$ $2$ $+ 3$
↓
Löse nach $x$ auf.
$e^{- x}$ $=$ $5$ $\ln$
$- x$ $=$ $\ln (5)$ $\cdot (- 1)$
$x$ $=$ $- \ln (5)$
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- \ln (5); 0}$ .
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Lösen Sie für $0 \leq x \leq 2 π$ die Gleichung $(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x) = 3.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
$(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x)$ $=$ $3$ $- 3$
$(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x) - 3$ $=$ $0$
↓
Setze $\sin (x)$ =z.
$z^{2} - 2 z - 3$ $=$ $0$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 2$ und $q = - 3$
$z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 2$ und $q = - 3$ ein.
$=$ $- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 3)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $1 \pm \sqrt{1 + 3}$
$=$ $1 \pm 2$
$z_{1}$ $=$ $- 1$
$z_{2}$ $=$ $3$
Rücksubstituieren
Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $\sin (x) = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) \sin (x) = - 1$ und $(I I) \sin (x) = 3$
Gleichung $(I)$ hat die Lösung $x = \frac{3}{2} π$ .
Die Gleichung $(I I)$ hat keine Lösung, da für alle $x$ gilt $- 1 \leq \sin (x) \leq 1$ ).
Antwort: Die Gleichung hat im Bereich $0 \leq x \leq 2 π$ die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{3}{2} π}$ .
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Lösen Sie die Gleichung $\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 1.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ $=$ $1$ $\cdot x^{2}$
↓
Multipliziere mit dem Hauptnenner $x^{2}$ .
$2 + x$ $=$ $x^{2}$ $- 2 - x$
↓
Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$ $=$ $x^{2} - x - 2$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 1$ und $q = - 2$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 1$ und $q = - 2$ ein.
$=$ $- \frac{(- 1)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 1}{2})}^{2} - (- 2)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}$
$=$ $\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
$=$ $\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$
$x_{1}$ $=$ $- 1$
$x_{2}$ $=$ $2$
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {- 1; 2}$ .
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Lösen Sie die Gleichung $1 - \frac{5}{e^{x}} + \frac{4}{e^{2 x}} = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
$0$ $=$ $1 - \frac{5}{e^{x}} + \frac{4}{e^{2 x}}$ $\cdot e^{2 x}$
↓
Multipliziere mit dem Hauptnenner $e^{2 x}$ .
$0$ $=$ $e^{2 x} - 5 e^{x} + 4$
↓
Substituiere $e^{x} = z$ .
$0$ $=$ $z^{2} - 5 z + 4$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 5$ und $q = 4$
$z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 5$ und $q = 4$ ein.
$=$ $- \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 4}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4}$
$=$ $\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
$=$ $\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}$
$z_{1}$ $=$ $1$
$x_{2}$ $=$ $4$
Rücksubstituieren
Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ wieder in die Substitutionsgleichung $e^{x} = z$ ein, so erhältst du die zwei Gleichungen: $(I) e^{x} = 1$ und $(I I) e^{x} = 4$
Gleichung $(I)$ hat die Lösung $x = 0$ .
Die Gleichung $(I I)$ hat die Lösung $x = \ln (4)$ .
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {0; \ln (4)}$ .
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Lösen Sie für $0 \leq x \leq 2 π$ die Gleichung $\cos (x) · (e^{- 2 x + 1} + 1) = 0.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ .
Also ist entweder $(I) \cos (x) = 0$ oder $(I I) e^{- 2 x + 1} + 1 = 0$
Lösung für Gleichung $(I)$ :
Im Bereich $0 \leq x \leq 2 π$ ist $\cos (\frac{π}{2}) = 0$ und $\cos (\frac{3 π}{2}) = 0$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{π}{2} und x_{2} = \frac{3 π}{2}$
Lösung für Gleichung $(I I)$ :
$e^{- 2 x + 1} + 1 = 0 \Rightarrow (I I^{'}) e^{- 2 x + 1} = - 1$
Die Gleichung $(I I^{'})$ hat keine Lösung ( $e^{- 2 x + 1}$ ist für alle $x$ immer $> 0$ ).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}}$ .
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CC BY 4.0 mit Namensnennung Landesbildungsserver Baden-Württemberg → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$x^{5} + 2 x^{3} - 3 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)$
	↓	Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$x_{1}$	$=$	$0$
$0$	$=$	$x^{4} + 2 x^{2} - 3$
	↓	Substituiere $x^{2} = z$ .
$0$	$=$	$z^{2} + 2 z - 3$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 2$ und $q = - 3$ ein.
	$=$	$- \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 1 \pm \sqrt{1 + 3}$
	$=$	$- 1 \pm 2$
$z_{1}$	$=$	$- 3$
$z_{2}$	$=$	$1$

$2 x^{2} – 50$	$=$	$0$	$+ 50$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$	$=$	$50$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$25$	$\sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$- 5$
$x_{2}$	$=$	$5$

$e^{2 x} – 7$	$=$	$0$	$+ 7$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$e^{2 x}$	$=$	$7$	$\ln$
$\ln (e^{2 x})$	$=$	$\ln (7)$
$2 x$	$=$	$\ln (7)$	$: 2$
$x_{3}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

$0$	$=$	$e^{x} + 3 - 10 \cdot e^{- x}$	$\cdot e^{x}$
	↓	Multipliziere mit $e^{x}$ .
$0$	$=$	$e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} - 10$
	↓	Substituiere $e^{x} = z$ .
$0$	$=$	$z^{2} + 3 z - 10$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 3$ und $q = - 10$ ein.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 10}$
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}$
$z_{1}$	$=$	$- 5$
$z_{2}$	$=$	$2$

$(e^{- x} - 3)^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
$e^{- x} - 3$	$=$	$- 2$
$e^{- x} - 3$	$=$	$+ 2$

$e^{- x} - 3$	$=$	$- 2$	$+ 3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$e^{- x}$	$=$	$1$	$\ln$
$- x$	$=$	$\ln (1)$
	↓	$\ln (1) = 0$ .
$x$	$=$	$0$

$(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x)$	$=$	$3$	$- 3$
$(\sin (x))^{2} - 2 \sin (x) - 3$	$=$	$0$
	↓	Setze $\sin (x)$ =z.
$z^{2} - 2 z - 3$	$=$	$0$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 2$ und $q = - 3$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1 \pm \sqrt{1 + 3}$
	$=$	$1 \pm 2$
$z_{1}$	$=$	$- 1$
$z_{2}$	$=$	$3$

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}$	$=$	$1$	$\cdot x^{2}$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $x^{2}$ .
$2 + x$	$=$	$x^{2}$	$- 2 - x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$x^{2} - x - 2$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 1$ und $q = - 2$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 1)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 1}{2})}^{2} - (- 2)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}$
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$
$x_{1}$	$=$	$- 1$
$x_{2}$	$=$	$2$

$0$	$=$	$1 - \frac{5}{e^{x}} + \frac{4}{e^{2 x}}$	$\cdot e^{2 x}$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $e^{2 x}$ .
$0$	$=$	$e^{2 x} - 5 e^{x} + 4$
	↓	Substituiere $e^{x} = z$ .
$0$	$=$	$z^{2} - 5 z + 4$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 5$ und $q = 4$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4}$
	$=$	$\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$
	$=$	$\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}$
$z_{1}$	$=$	$1$
$x_{2}$	$=$	$4$

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