Gleichungslehre
Lösen Sie die Gleichung x5+2x3â3x=0.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
0 = x5+2x3â3x â Klammere x aus.
0 = x(x4+2x2â3) â Wende den Satz vom Nullprodukt an.
x1â = 0 0 = x4+2x2â3 â Substituiere x2=z.
0 = z2+2zâ3 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte fĂŒr p und q ab:p=2 und q=â3
z1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=2 und q=â3 ein.
= â22â±(22â)2â(â3)â â Vereinfache.
= â1±1+3â = â1±2 z1â = â3 z2â = 1 RĂŒcksubstituieren
Setze z1ââ und z2ââ wieder in die Substitutionsgleichung x2=z ein, so erhĂ€ltst du die zwei Gleichungen: (I)x2=â3 und (II)x2=1
Die Gleichung (I) hat keine reelle Lösung und Gleichung (II) hat die beiden Lösungen x2â=â1 und x3â=1.
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={â1;0;1}.
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Lösen Sie die Gleichung (2x2â50)â (e2xâ7)=0.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren 0 ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich 0.
Also ist entweder (I)2x2â50=0 oder (II)e2xâ7=0
Lösung fĂŒr Gleichung (I):
2x2â50 = 0 +50 â Löse nach x2 auf.
2x2 = 50 :2 x2 = 25 â x1â = â5 x2â = 5 Lösung fĂŒr Gleichung (II):
e2xâ7 = 0 +7 â Löse nach x auf.
e2x = 7 ln ln(e2x) = ln(7) 2x = ln(7) :2 x3â = 21ââ ln(7) Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={â5;21âln(7);5}.
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Lösen Sie die Gleichung ex+3â10â eâx=0.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
0 = ex+3â10â eâx â ex â Multipliziere mit ex.
0 = e2x+3â exâ10 â Substituiere ex=z.
0 = z2+3zâ10 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte fĂŒr p und q ab:p=3 und q=â10
z1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=3 und q=â10 ein.
= â23â±(23â)2â(â10)â â Vereinfache.
= â23â±49â+10â = â23â±449ââ = â23â±27â z1â = â5 z2â = 2 RĂŒcksubstituieren
Setze z1ââ und z2ââ wieder in die Substitutionsgleichung ex=z ein, so erhĂ€ltst du die zwei Gleichungen: (I)ex=â5 und (II)ex=2
Die Gleichung (I) hat keine Lösung (ex ist fĂŒr alle x immer >0) und Gleichung (II) hat die Lösung x=ln(2).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={ln(2)}.
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Lösen Sie die Gleichung (eâxâ3)2=4.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
(eâxâ3)2 = 4 â eâxâ3 = â2 eâxâ3 = +2 Du hast zwei Gleichungen erhalten:
(I)eâxâ3=â2 und (II)eâxâ3=2
Lösung fĂŒr Gleichung (I):
eâxâ3 = â2 +3 â Löse nach x auf.
eâx = 1 ln âx = ln(1) â ln(1)=0.
x = 0 Lösung fĂŒr Gleichung (II):
eâxâ3 = 2 +3 â Löse nach x auf.
eâx = 5 ln âx = ln(5) â (â1) x = âln(5) Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={âln(5);0}.
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Lösen Sie fĂŒr 0â€xâ€2Ï die Gleichung (sin(x))2â2sin(x)=3.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
(sin(x))2â2sin(x) = 3 â3 (sin(x))2â2sin(x)â3 = 0 â Setze sin(x)=z.
z2â2zâ3 = 0 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte fĂŒr p und q ab:p=â2 und q=â3
z1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=â2 und q=â3 ein.
= â2(â2)â±(2â2â)2â(â3)â â Vereinfache.
= 1±1+3â = 1±2 z1â = â1 z2â = 3 RĂŒcksubstituieren
Setze z1ââ und z2ââ wieder in die Substitutionsgleichung sin(x)=z ein, so erhĂ€ltst du die zwei Gleichungen: (I)sin(x)=â1 und (II)sin(x)=3
Gleichung (I) hat die Lösung x=23âÏ.
Die Gleichung (II) hat keine Lösung, da fĂŒr alle x gilt â1â€sin(x)â€1).
Antwort: Die Gleichung hat im Bereich 0â€xâ€2Ï die Lösungsmenge L={23âÏ}.
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Lösen Sie die Gleichung x22â+x1â=1.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
x22â+x1â = 1 â x2 â Multipliziere mit dem Hauptnenner x2.
2+x = x2 â2âx â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2âxâ2 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte fĂŒr p und q ab:p=â1 und q=â2
x1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=â1 und q=â2 ein.
= â2(â1)â±(2â1â)2â(â2)â â Vereinfache.
= 21â±41â+2â = 21â±49ââ = 21â±23â x1â = â1 x2â = 2 Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={â1;2}.
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Lösen Sie die Gleichung 1âex5â+e2x4â=0.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
0 = 1âex5â+e2x4â â e2x â Multipliziere mit dem Hauptnenner e2x.
0 = e2xâ5ex+4 â Substituiere ex=z.
0 = z2â5z+4 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten, die mit der Mitternachtsformel oder mit der pq-Formel gelöst werden kann. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies aus der Gleichung die Werte fĂŒr p und q ab:p=â5 und q=4
z1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=â5 und q=4 ein.
= â2(â5)â±(2â5â)2â4â â Vereinfache.
= 25â±425ââ4â = 25â±49ââ = 25â±23â z1â = 1 x2â = 4 RĂŒcksubstituieren
Setze z1ââ und z2ââ wieder in die Substitutionsgleichung ex=z ein, so erhĂ€ltst du die zwei Gleichungen: (I)ex=1 und (II)ex=4
Gleichung (I) hat die Lösung x=0.
Die Gleichung (II) hat die Lösung x=ln(4).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={0;ln(4)}.
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Lösen Sie fĂŒr 0â€xâ€2Ï die Gleichung cos(x)â (eâ2x+1+1)=0.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Faktoren 0 ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich 0.
Also ist entweder (I)cos(x)=0 oder (II)eâ2x+1+1=0
Lösung fĂŒr Gleichung (I):
Im Bereich 0â€xâ€2Ï ist cos(2Ïâ)=0 und cos(23Ïâ)=0
âx1â=2Ïâundx2â=23Ïâ
Lösung fĂŒr Gleichung (II):
eâ2x+1+1=0â(IIâČ)eâ2x+1=â1
Die Gleichung (IIâČ) hat keine Lösung (eâ2x+1 ist fĂŒr alle x immer >0).
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge L={2Ïâ;23Ïâ}.
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