Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Beschreiben, Verstehen, Begründen

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ . Die Ebene $F$ ist parallel zu $E_{1}$ und $E_{2}$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenform
1. Wähle einen beliebigen Punkt $P_1\in E_1$ .
2. Wähle einen beliebigen Punkt $P_2\in E_2$ .
3. Berechne den Mittelpunkt $M$ der Strecke $[P_{1} P_{2}]$ .
$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2})$
4. Nimm von den Ebenen $E_{1}$ oder $E_{2}$ einen der beiden Normalenvektoren z.B. $\vec n_{E_1}$ .
5. Setze in die Normalenform ein:
$F: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OM}\right)\circ \vec n_{E_1} =0$ .
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Gegeben ist eine Ebene $E$ . Gesucht ist eine zu $E$ parallele Ebene $F$ im
Abstand 3.
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenform
Gegeben $E:\;ax_1+bx_2+cx_3-d=0$
$\;\Rightarrow\;\vec{n_E} =\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
Der dazugehörende Normaleneinheitsvektor ist dann:
$\overrightarrow{n_E^0} =\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
Finde einen Punkt $Q\in E$ . Dann führt die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+3\cdot\overrightarrow{n_E^0}$ zu einem Punkt $P \in F$ .
Da $F\parallel E$ ist $\vec{n_F} =\vec{n_E}$ . Mit dem Punkt $P$ kann die Gleichung der Ebene $F$ in Normalenform angegeben werden.
$F: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OP}\right)\circ \vec n_{E} =0$
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Die vier Punkte $A, B, C$ und $D$ bilden ein Parallelogramm im Raum. Des Weiteren ist ein Punkt $P$ gegeben.
Beschreiben Sie ein Verfahren, um festzustellen ob der Punkt $P$ im Parallelogramm $A B C D$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform der Ebene
Erstelle eine Parameterform der Ebene $E$ , in der das Parallelogramm liegt.
$E:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}$
Prüfe, ob $P\in E$ ?
$\mathrm{(I)}\;\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}$
1. Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat keine Lösung, dann gilt $P\notin E$ und $P\notin \Box$ .
2. Gleichung $\mathrm{(I)}$ hat eine Lösung, dann gilt $P\in E$ und $P\in \Box$ , wenn die Bedingung $0\leq r,s\leq1$ erfüllt ist.
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Skizzieren Sie das Schaubild einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften:
$f(x)\gt0, f'(x)\gt0$ und $f''(x)\lt0$
Begründen Sie: Ist $f''(x)\lt0$ , so ist das Schaubild von $f$ eine Rechtskurve.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Lösung zu a)
Das Schaubild der Funktion kann z.B. so wie in der Abbildung aussehen.
Es hat folgende Eigenschaften:
$f (x) > 0$ (alle Funktionswerte liegen oberhalb der $x$ -Achse)
$f^{'} (x) > 0$ (die Steigung ist immer positiv)
$f^{''} (x) < 0$ (Der Graph ist rechtsgekrümmt)
Lösung zu b)
Es gilt: $f''(x)<0\Leftrightarrow(f'(x))'<0\;\Rightarrow\; f'(x)$ ist streng monoton fallend. Fällt die Steigung eines Funktionsgraphen permanent, dann ist der Graph rechtsgekrümmt.
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Für ein Ereignis $A$ bei der mehrmaligen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes gilt
$P\left(A\right)=1-\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 15 \\ 13 \end{pmatrix} \cdot 0{,}6^{13} \cdot 0{,}4^{2}+15 \cdot 0{,}6^{14} \cdot 0{,}4+ 0{,}6^{15}\end{pmatrix}$
Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
Gegeben ist: $P (A) = 1 - (P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15))$
Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, das $15$ -mal durchgeführt wird ( $n = 15$ ). Dabei ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,6$ und $q = 1 - p = 0,4$ .
Ereignis $A$ : Es gibt höchstens $12$ Erfolge bei $15$ Wiederholungen.
(andere Formulierung: Es gibt weniger als $13$ Erfolge bei $15$ Wiederholungen)
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