Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Beschreiben, Verstehen, Begründen

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ . Die Ebene $F$ ist parallel zu $E_{1}$ und $E_{2}$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenform
1. Wähle einen beliebigen Punkt $P_{1} \in E_{1}$ .
2. Wähle einen beliebigen Punkt $P_{2} \in E_{2}$ .
3. Berechne den Mittelpunkt $M$ der Strecke $[P_{1} P_{2}]$ .
$\vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}})$
4. Nimm von den Ebenen $E_{1}$ oder $E_{2}$ einen der beiden Normalenvektoren z.B. ${\vec{n}}_{E_{1}}$ .
5. Setze in die Normalenform ein:
$F : (\vec{x} - \vec{O M}) \circ {\vec{n}}_{E_{1}} = 0$ .
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Gegeben ist eine Ebene $E$ . Gesucht ist eine zu $E$ parallele Ebene $F$ im
Abstand 3.
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene $F$ bestimmen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenform
Gegeben $E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d = 0$
$\Rightarrow \vec{n_{E}} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})$
Der dazugehörende Normaleneinheitsvektor ist dann:
$\vec{n_{E}^{0}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \cdot (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})$
Finde einen Punkt $Q \in E$ . Dann führt die Vektorgleichung $\vec{O P} = \vec{O Q} + 3 \cdot \vec{n_{E}^{0}}$ zu einem Punkt $P \in F$ .
Da $F ∥ E$ ist $\vec{n_{F}} = \vec{n_{E}}$ . Mit dem Punkt $P$ kann die Gleichung der Ebene $F$ in Normalenform angegeben werden.
$F : (\vec{x} - \vec{O P}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0$
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Die vier Punkte $A, B, C$ und $D$ bilden ein Parallelogramm im Raum. Des Weiteren ist ein Punkt $P$ gegeben.
Beschreiben Sie ein Verfahren, um festzustellen ob der Punkt $P$ im Parallelogramm $A B C D$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform der Ebene
Erstelle eine Parameterform der Ebene $E$ , in der das Parallelogramm liegt.
$E : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A D}$
Prüfe, ob $P \in E$ ?
$(I) \vec{O P} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A D}$
1. Gleichung $(I)$ hat keine Lösung, dann gilt $P \notin E$ und $P \notin □$ .
2. Gleichung $(I)$ hat eine Lösung, dann gilt $P \in E$ und $P \in □$ , wenn die Bedingung $0 \leq r, s \leq 1$ erfüllt ist.
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Skizzieren Sie das Schaubild einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften:
$f (x) > 0, f^{'} (x) > 0$ und $f^{''} (x) < 0$
Begründen Sie: Ist $f^{''} (x) < 0$ , so ist das Schaubild von $f$ eine Rechtskurve.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Lösung zu a)
Das Schaubild der Funktion kann z.B. so wie in der Abbildung aussehen.
Es hat folgende Eigenschaften:
$f (x) > 0$ (alle Funktionswerte liegen oberhalb der $x$ -Achse)
$f^{'} (x) > 0$ (die Steigung ist immer positiv)
$f^{''} (x) < 0$ (Der Graph ist rechtsgekrümmt)
Lösung zu b)
Es gilt: $f^{''} (x) < 0 \Leftrightarrow (f^{'} (x))^{'} < 0 \Rightarrow f^{'} (x)$ ist streng monoton fallend. Fällt die Steigung eines Funktionsgraphen permanent, dann ist der Graph rechtsgekrümmt.
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Für ein Ereignis $A$ bei der mehrmaligen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes gilt
$P (A) = 1 - (\begin{array}{c} (\begin{array}{c} 15 \\ 13 \end{array}) \cdot {0,6}^{13} \cdot {0,4}^{2} + 15 \cdot {0,6}^{14} \cdot 0,4 + {0,6}^{15} \end{array})$
Beschreiben Sie das Ereignis $A$ in Worten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
Gegeben ist: $P (A) = 1 - (P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15))$
Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, das $15$ -mal durchgeführt wird ( $n = 15$ ). Dabei ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,6$ und $q = 1 - p = 0,4$ .
Ereignis $A$ : Es gibt höchstens $12$ Erfolge bei $15$ Wiederholungen.
(andere Formulierung: Es gibt weniger als $13$ Erfolge bei $15$ Wiederholungen)
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