Jeder Punkt hat den Abstand $5\ m$ zur Bodenmitte

Den Abstand kann man ähnlich wie bei 1b über den Satz des Pythagoras berechnen.

Damit hat man ausgerechnet, dass der Abstand von Punkt zur Bodenmitte immer $5\ m$ beträgt. Der Abstand zu einem Punkt in der Mitte beträgt also immer $5$, daher handelt es sich um einen Halbkreis.

Graph in Koordinatensystem zeichnen

Bedingung III ist erfüllt

Gehe dazu vor wie bei Aufgabe 2b.

$f(3)=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4$

Die Funktion ist, wie man an dem Graphen sieht, punktsymmetrisch. An der Stelle $x=3$ ist noch mind. $4\ m$ hoch, damit auch an der Stelle $x=-3$ und erfüllt damit die Bedingung III.

$F(5)=\frac{25}{4}\pi$

Überlege dir zuerst, wofür $F(5)$ steht

$F(5)=F:x\mapsto \int _0^5f(t)dt$

$F(5)$ steht also für die Fläche unter dem Graphen von $x=0$ bis $x=5$. Wie man an dem Graphen von 3a sehen kann (und man bei Aufgabenteil $a)$ bewiesen hat), handelt es sich dabei um einen Viertelkreis mit Radius $5m$. Berechne den Flächeninhalt.

$F(5)=\frac{1}{4}\cdot 5^2\pi =\frac{25}{4}\pi$

Damit ist das Kontrollergebnis bestätigt.

Auswahl des richtigen Graphen

Man könnte sich zuerst überlegen, ob die Funktion $F(x)$ links des Ursprungs positiv oder negativ sein muss.

Sie muss negativ sein, weil die Fläche zwar oberhalb der $x$-Achse ist, aber man in negative Richtung integriert. Damit scheidet der Graph B aus, weil hier die Funktion links des Ursprungs positiv ist.

Also kommen nur noch die Graphen $A$ und $C$ infrage. Bei Graph $A$ ist der Flächenzuwachs erst groß und wird dann abgeschwächt, bei Graph C ist es umgekehrt. Überlege, was zutrifft.

Bei einem Kreis ist die Fläche um den Ursprung mehr als am Rand (siehe Graph 3a), das heißt, dass der Flächenzuwachs am Anfang groß ist und dann abnimmt.

Alternativ kannst du dir auch überlegen, welche Werte die Ableitung von $F$ bei $x=5$ oder $x=-5$ hat.

Bei Graph A ist die Ableitung an den Rändern $0$ und bei Graph C $+\infty$ bzw. $-\infty$. Die Ableitung von $F$ entspricht der Funktion $f$. Die Funktion $f$ hat an den Rändern den Wert $0$.

Damit ist Graph $A$ richtig und Graph $C$ falsch.

Fläche aus 2a: $\frac{100}{\pi}$ Fläche bei Modellierung mit $f$: $2\cdot\frac{25}{4}\pi=\frac{50}{4}\pi$ (zwei Mal die Fläche des Viertelkreises)

Die Abweichung in Prozent berechnet man, indem man die Differenz der Werte durch den "ursprünglichen" Wert (also den der Aufgabe 2a) teilt.

$\frac{|\frac{100}{\pi }-\frac{50}{4}\pi |}{\frac{100}{\pi }}\approx 0{,}2337$

Die Abweichung beträgt also ca. $23\ \%$

Tangente $t$ verläuft parallel zu $g$

Um Parallelität zu prüfen, muss man die Steigung der Tangente $t$ berechnen. Dazu bildet man die erste Ableitung und setzt ein.

Die Steigungen von $t$ und $g$ stimmen also überein, also sind sie parallel.

Einzeichnen von $g$ und $t$

Dazu benötigt man die Geradengleichung von $t$. Berechne dazu erst den Punkt $R$.

$f(4)=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{9}=3$

Der Punkt $R$ hat also die Koordinaten $(4|3)$. Setze diese in die Geradengleichung ein und berechne den $y$-Achsenabschnitt von $t$.

Die Geradengleichung von $t$ ist also $y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$. Mit diesen Infos kannst du die Geraden einzeichnen.

Für den kleinsten Abstand braucht man die Lotgerade von R auf g. Die Steigung ist die Normalensteigung und wird mit Hilfe der Formel $m_N=-\frac{1}{m_g}$ berechnet. Dann setzt man den Punkt $R$ ein und berechnet den $y$-Achsenabschnitt. Damit hat man die Lotgerade. Nun muss man den Schnittpunkt der Lotgerade mit $g$ berechnen. Als Letztes berechnet man den Abstand von dem Schnittpunkt zu $R$.