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Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

  1. Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5 m5\ m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x9-5\le x\le 9, 1y13-1\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

    Betrachtet wird nun die Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt mit Definitionsbereich DF=[5;5]D_F=[-5;5].

  2. Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi gilt. Einer der Graphen A,BA, B und CC ist der Graph von FF. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

    Bild
  3. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit ff von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

    Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade gg mit der Gleichung y=43x+12y=-\frac{4}{3}x+12 modelliert.

  4. Zeigen Sie, dass die Tangente tt an den Graphen von ff im Punkt R(4f(4))R(4|f(4)) parallel zu gg verläuft. Zeichnen Sie gg und tt in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

  5. Der Punkt RR aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand ee in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von ee. (3 BE)