Gruppe A - lernen mit Serlo!

Es soll ein Dreieck ABC gezeichnet werden, für das der Umfang $u=a+b+c$ sowie die Winkelgrößen $\alpha=60^\circ$ und $\beta=80^\circ$ gegeben sind; dazu soll die abgebildete, nicht maßstabsgetreue Überlegungsfigur genutzt werden.

Begründen Sie, dass $\delta=30^\circ$ gilt. (2 BE)

Tipp: Betrachte die Dreiecke $\triangle BCE$ und $\triangle ADC$ . Fällt dir etwas auf?
Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass $\alpha=60°$ beträgt. Mit Hilfe dieser Angabe kannst du den Winkel $\sphericalangle CAD$ bestimmen. Wende dafür die Regel für den Nebenwinkel an.
$\sphericalangle CAD+\alpha=180°$
Stelle nach $\sphericalangle CAD$ um und setze für $\alpha=60°$ ein.
$\sphericalangle CAD=120°$
Das Dreieck $\triangle ADC$ ist ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seiten $\overline{AC}=\overline{AD}=b$ sind. Für die Innenwinkelsumme im Dreieck $\triangle ADC$ ergibt sich:
$\sphericalangle DCA+\delta+ \sphericalangle CAD =180°$
In diesem Dreieck gilt, wegen der Gleichschenkligkeit $\sphericalangle DCA=\delta$ . Du kannst also vereinfacht schreiben:
$2\cdot\delta+ \sphericalangle CAD =180°$
Setze den Wert von $\sphericalangle CAD$ ein und forme nach $2\cdot\delta$ um.
$2\cdot \delta =60°$ $|:2$
$\delta =30°$
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Zeichnen Sie das Dreieck $ABC$ , wenn sein Umfang u durch die unten gezeichnete Strecke gegeben ist. Beschriften Sie Ihre Zeichnung so, dass der Lösungsweg erkennbar wird. (2 BE)
Hinweis: Im Originaltext wurde auf dem Blatt eine Strecke für den Umfang vorgegeben.
Wenn du die Aufgabe bearbeiten möchtest, zeichne als Umfang eine etwa $15\ cm$ lange Strecke wie unten abgebildet.

Betrachte zunächst das Dreieck $\triangle BCE$ . Den Winkel $\sphericalangle EBC$ erhältst du, wenn du den Nebenwinkel $\beta$ zur Hilfe nimmst.
$\sphericalangle EBC+\beta=180°$
Stelle nach $\sphericalangle EBC$ um und setze für $\beta =80°$ ein.
$\sphericalangle EBC=100°$
Wie bei Teilaufgabe 1) musst du auch hier alle Winkel im Dreieck $\triangle BCE$ bestimmen, um das Dreieck zeichnen zu können. $\triangle BCE$ ist wieder ein gleichschenkliges Dreieck. Wir können also wieder mit der Innenwinkelsumme für Dreiecke $\varepsilon$ bestimmen.
$2\cdot\varepsilon+ \sphericalangle EBC =180°$
Setze den Wert von $\sphericalangle EBC$ ein und forme nach $2\cdot\varepsilon$ um.
$2\cdot \varepsilon =80°$ $|:2$
$\varepsilon =40°$
Die unten gekennzeichnete Strecke beschreibt die Strecke $\overline{DE}$ . Wir wollen zunächst den Punkt $C$ konstruieren und messen deswegen, mit dem Geodreieck $\delta$ ab.
Zeichne eine Halbgerade ab dem Punkt $D$ .
Mache nun das Gleiche mit $\varepsilon$ . Der Schnittpunkt beider Halbgeraden ist unser Punkt $C$ .
Mit Hilfe des Geodreiecks kannst du jetzt den Punkt $A$ konstruieren. Trage dazu $30°$ von der Strecke $\overline{DC}$ ab.
Mache das Gleiche auch für den $40°$ Winkel bei $\sphericalangle EBC$ .
Zeichne zuletzt noch die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ein. Das Dreieck ist fertig gezeichnet.
Die Zeichnung ist nun vollständig. Du kannst dich selber kontrollieren, indem du $\alpha$ und $\beta$ misst. Wenn $\alpha=60°$ und $\beta =80°$ sind,ist deine Zeichnung richtig.
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