Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben
Berechnen Sie die reelen Zahlen x und y, die das folgende Gleichungssystem erfüllen: (2 BE)

Ix+2y=3II4x+5y=6\begin{array}{rllll}I &x &+ &2y &= &3 \\II &4x &+ &5y &= &6\end{array}

Die Abbildung zeigt für das Jahr 2010, welcher Anteil der Bergbau-Jahresproduktion von Gold bzw. Palladium für die Herstellung von Mobiltelefonen, PC und Laptops aufgewendet wurde. Außerdem ist für die beiden Edelmetalle jeweils der Wert pro Kilogramm in Euro angegeben.

a) Im Jahr 2010 wurden weltweit für die Herstellung von ungefähr zwei Milliarden Mobiltelefonen, PC und Laptops 40 Tonnen Palladium verwendet. Kreuzen Sie an, wie viele Tonnen Palladium im Jahr 2010 durch Bergbau gewonnen wurden. (1 BE)

b) Man geht davon aus, dass sich in Deutschland in den Haushalten 100 Millionen Mobiltelefone befinden, die nicht mehr verwendet werden. Durchschnittlich enthält ein Mobiltelefon 20 Milligramm Gold. Berechnen Sie den Gesamtwert (in Euro) des in diesen Mobiltelefonen enthaltenen Golds. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe musst du die Prozentrechnung beherrschen.

Für die Herstellung von 2 Milliarden Mobiltelefonen, PC und Laptops wurden 40t Palladium verwendet. Laut dem Diagramm entspricht dies 20% der Palladium Jahresproduktion.

%%40t\widehat=20\% %%

|%%:20%%

%%2t\widehat=1\% %%

|%%\cdot100%%

%%200t\widehat=100\% %%

Im Jahr 2010 wurden %%200t%% Palladium durch Bergbau gewonnen.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe benötigst Du Kenntnisse über die Umrechnung von Gewichtseinheiten.

%%1g=1000mg%%

%%1kg=1000g%%

Berechne zuerst das Gewicht des Goldes, das sich in 100 Millionen Mobiltelefonen befindet, wenn jedes Mobiltelefon durchschnittlich 20mg Gold enthält.

%%100.000.000\cdot20mg=2.000.000.000mg=2.000.000g=2.000kg%%

Ermittle nun den Gesamtwert des in den 100 Millionen Mobiltelefonen enthaltenen Goldes, wenn 1kg Gold 40000€ wert ist.

%%2.000\cdot40.000€=80.000.000€=80%% Millionen %%€%%.

Der Gesamtwert des in 100 Millionen Mobiltelefonen enthaltenen Goldes beträgt %%80%% Millionen %%€%%.

Die Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Der Punkt P hat von M die Entfernung s. Eine durch P verlaufende Tangente an den Kreis berührt diesen im Punkt Q.

a) Beschreiben Sie in Kurzform, wie man den Punkt Q konstruieren kann, wenn nur der Kreis mit dem Mittelpunkt M sowie der Punkt P gegeben sind. (2 BE)

Hinweis: In der geforderten Kurzform müsste z. B. die Konstruktion einer Parallelen nicht beschrieben werden.

b) Geben Sie einen Term an, mit dem %%\overline{PQ}%% aus r und s berechnet werden kann. (1 BE)

c) Durch den Punkt P wird eine zweite Tangente an den Kreis gezeichnet. Sie berührt den Kreis im Punkt R, der mit P, Q und M die Eckpunkte eines Drachenvierecks bildet. Geben Sie einen Term an, mit dem man den Flächeninhalt dieses Drachenvierecks aus r und %%\overline{PQ}%% berechnen kann. (1 BE)

d) Entscheiden Sie für jede der folgenden Gleichungen, ob sie richtig oder falsch ist. Kreuzen Sie nur die richtigen Gleichungen an. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe musst du den Thaleskries kennen.

Gegeben:

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.

Der Punkt P hat von M die Entfernung s.

Eine durch P verlaufende Tangente an den Kreis berührt diesen im Punkt Q.

Konstruktion:

Schlage um %%M%% einen Kreis mit dem Radius %%s%%. Verbinde %%M%% mit einem beliebigen Punkt auf diesem Kreis. Du erhälst den Punkt %%P%%. Schlage um %%P%% einen Kreis mit dem Radius %%\frac s2%%. Dieser schneidet %%\overline{PQ}%% in %%T%%. Der Thaleskreis um T mit dem Radius %%\frac s2%% schneidet den Kreis um %%M%% mit dem Radius %%r%% in %%Q%%.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe benötigst du den Satz des Pythagoras.

%%\begin{array}{l}r²+(\overline{PQ})²=s²\\\overline{PQ}=\sqrt{s²-r²}\\\end{array}%%

Teilaufgabe c)

Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet.

Die Fläche des Dreiecks %%\bigtriangleup PQM%% ist gleich der Fläche des Dreiecks %%\bigtriangleup PMR%%.

Berechne also 2 mal die Fläche des Dreiecks %%\bigtriangleup PQM%%.

%%A_{Drachenviereck}=2\cdot(\frac12\cdot\overline{PQ}\cdot r)%%

Teilaufgabe d)

Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man sin, cos, tan berechnet.

%%\begin{array}{l}sin\varphi=\frac{Gegenkathede}{Hypothenuse}=\frac r{PQ}\\\\\cos\varphi=\frac{Ankathede}{Hypothenuse}=\frac{\overline{PQ}}s\\\\\tan\varphi=\frac{Gegenkathede}{Ankathede}=\frac r{\overline{PQ}}\end{array}%%

Ein Lastwagen beliefert ein Ferienhaus im Süden Europas mit Wasser. Schätzen Sie mithilfe der Abbildung ab, wie viele Kubikmeter Wasser der Wassertank des Lastwagens fasst. (2 BE)


Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schätzen

Der Wassertank hat ungefähr die Form eines liegenden Zylinders. Um das Fassungsvermögen daher abschätzen zu können, brauchst du den Radius des Zylinders und dessen Höhe.
Das Volumen des Tanks lässt sich dann durch VZylinder=r2πhV_{Zylinder}=r^2\pi\cdot h berechnen.
Um etwas schätzen zu können, brauchst du einen Vergleichsmaßstab, dessen Größe du in etwa kennst. Hier bietet es sich an die Körperhöhe eines der Menschen neben dem Tank als Vergleichsmaßstab zu wählen.
Ein durchschnittlicher Mann ist circa 1,80 m1,80\ \text{m} groß. Der Durchmesser des Wassertanks ist fast so groß wie einer der Männer, also d=2r=1,80 md=2r=1,80\ \text{m} r=0,9 m\Rightarrow r=0,9\ \text{m}.
Um hh zu bestimmen nutzt du am Besten wieder einen durchschnittlichen Mann als Vergleichsgröße. hh ist in etwa 1,51,5 mal so lang wie einer der Männer, wenn man eine Verzerrung nach hinten berücksichtigt, also h=1,51,8 m=2,7 mh=1,5\cdot1,8\ \text{m}=2,7\ \text{m}.
Nun musst du nur noch hh und rr in die Volumenformel für den Zylinder einsetzen.
VTankVZylinder=r2πh=(0,9m)2π2,7m6,9m3V_{Tank}\approx V_{Zylinder}=r^2\pi \cdot h = (0,9\text{m})^2\cdot \pi \cdot 2,7\text{m} \approx 6,9 \text{m}^3
Der Tank fast in etwa 6,9m36,9\text{m}^3 Wasser.
Hinweis: Zu dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Herangehensweisen. Es ist vor allem wichtig schlüßig zu erklären, welche Annahmen und vergleichsmaßstäbe du benutzt. Hier wäre zum Beispiel auch eine Abschätzung mithilfe eines Quaders denkbar. Vergleichsmaßstab könnte auch die Höhe der Treppe am Tank oder die Höhe des Führerhaus des Wagens sein.

Eine von Gehwegen begrenzte Rasenfläche hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten acht Meter bzw. fünf Meter lang sind. Für die Rasenfläche ist ein Sandkasten in der Form eines Rechtecks vorgesehen, dessen Eckpunkte wie abgebildet auf den Seiten des Dreiecks liegen. Dieses Rechteck ist x Meter lang und a Meter breit.

a) Mithilfe des Strahlensatzes wurde eine Gleichung aufgestellt, die den Zusammenhang zwischen a und x richtig beschreibt. Kreuzen Sie diese Gleichung an. (1 BE)

b) Der Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks lässt sich in Abhängigkeit von x durch die Funktion A mit

%%\;A(x)=x\;\cdot\;(8\;-\frac85x)\;%% und %%\;0\leq x\leq 5%% beschreiben. Geben Sie die Nullstellen der Funktion A und mithilfe dieser Nullstellen die x-Koordinate des Scheitels der zu A gehörenden Parabel an. (2 BE)

c) Deuten Sie im Sachzusammenhang die x-Koordinate des Scheitels der zu A gehörenden Parabel. (1 BE)

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe muss du den Strahlensatz kennen.

Verwende den 2. Strahlensatz.

Die Gleichung %%\frac5x=\frac8{8-a}%% beschreibt den Zusammenhang zwischen a und x richtig.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe musst du die Berechnung von Nullstellen beherrschen.

Berechne die Nullstellen von

%%\begin{array}{l}A(x)=x\cdot(8-\frac85\cdot x)\\\end{array}%% im Bereich %%0\leq x\leq5%%.

%%x\cdot(8-\frac85\cdot x)=0%%

Die Gleichung hat den Wert %%0%%, wenn einer der beiden Faktoren den Wert %%0%% hat.

%%x_{1}=0%%

%%x_{2}=5%%

Die beiden Nullstellen sind %%x_1=0%% und %%x_2=5%%.

Die x Koordinate des Scheitels ist %%x=2,5%%, da die x Koordinate des Scheitels in der Mitte der beiden Nulstellen liegt.

Teilaufgabe c)

Für diese Aufgabe musst du die Berechnung des Scheitelpunktes beherrschen.

Bringe die Funktion A in die Scheitelformel.

%%A(x)=-\frac85x²+8x%%

%%S(\;-\frac8{\displaystyle\frac{-16}5}\;\vert\;\;-\frac{64}{\displaystyle\frac{-32}5}\;)=S(2,5\vert10)%%

Der Scheitel der Parabel hat die Koordinaten %%S(2,5|10)%%.

Es soll ein Dreieck ABC gezeichnet werden, für das der Umfang u=a+b+cu=a+b+c sowie die Winkelgrößenα=60\alpha=60^\circ und β=80\beta=80^\circgegeben sind; dazu soll die abgebildete, nicht maßstabsgetreue Überlegungsfigur genutzt werden.
a) Begründen Sie, dass δ=30\delta=30^\circ gilt. (2 BE)
b) Zeichnen Sie das Dreieck ABC, wenn sein Umfang u durch die unten gezeichnete Strecke gegeben ist. Beschriften Sie Ihre Zeichnung so, dass der Lösungsweg erkennbar wird. (2 BE)Wenn du die Aufgabe mit Stift und Blatt bearbeiten möchtest dann drücke auf "gezeichnete Strecke".
Tipp: Betrachte die Dreiecke BCE\triangle BCE und ADC\triangle ADC. Fällt dir etwas auf?

Teilaufgabe a)

Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass α=60°\alpha=60° beträgt. Mit Hilfe dieser Angabe kannst du den Winkel CAD\sphericalangle CAD bestimmen. Wende dafür die Regel für den Nebenwinkel an.
CAD+α=180°\sphericalangle CAD+\alpha=180°
Stelle nach CAD\sphericalangle CAD um und setze für α=60°\alpha=60° ein.
CAD=120°\sphericalangle CAD=120°

Das Dreieck ADC\triangle ADC ist ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seiten AC=AD=b\overline{AC}=\overline{AD}=b sind. Für die Innenwinkelsumme im Dreieck ADC\triangle ADC ergibt sich:
DCA+δ+CAD=180°\sphericalangle DCA+\delta+ \sphericalangle CAD =180°
In diesem Dreieck gilt, wegen der Gleichschenkligkeit DCA=δ\sphericalangle DCA=\delta. Du kannst also vereinfacht schreiben:
2δ+CAD=180°2\cdot\delta+ \sphericalangle CAD =180°
Setze den Wert von CAD\sphericalangle CAD ein und forme nach 2δ2\cdot\delta um.
2δ=60°2\cdot\delta =60°   \;   \;   \;   \;   \;   \;   \;   \; :2|:2

δ=30°\delta=30°


Teilaufgabe b)

Betrachte zunächst das Dreieck BCE\triangle BCE. Den Winkel EBC\sphericalangle EBC erhältst du, wenn du den Nebenwinkel β\beta zur Hilfe nimmst.
EBC+β=180°\sphericalangle EBC+\beta=180°
Stelle nach EBC\sphericalangle EBC um und setze für β=80°\beta =80° ein.
EBC=100°\sphericalangle EBC=100°

Wie bei Teilaufgabe a) musst du auch hier alle Winkel im Dreieck BCE\triangle BCE bestimmen, um das Dreieck zeichnen zu können. BCE\triangle BCE ist wieder ein gleichschenkliges Dreieck. Wir können also wieder mit der Innenwinkelsumme für Dreiecke ε\varepsilon bestimmen.
2ε+EBC=180°2\cdot\varepsilon+ \sphericalangle EBC =180°
Setze den Wert von EBC\sphericalangle EBC ein und forme nach 2ε2\cdot\varepsilon um.
2ε=80°2\cdot\varepsilon =80°   \;   \;   \;   \;   \;   \;   \;   \; :2|:2

ε=40°\varepsilon =40°

Die unten gekennzeichnete Strecke beschreibt die Strecke DE\overline{DE}. Wir wollen zunächst den Punkt CC konstruieren und messen deswegen, mit dem Geodreieck δ\delta ab.
BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 1.Bild
Zeichne eine Halbgerade ab dem Punkt DD.
BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 2.Bild
Mache nun das Gleiche mit ε\varepsilon. Der Schnittpunkt beider Halbgeraden ist unser Punkt CC.
BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 4.Bild
Mit Hilfe des Geodreiecks kannst du jetzt den Punkt AA konstruieren. Trage dazu 30°30° von der Strecke DC\overline{DC} ab.
BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 7.Bild
Mache das Gleiche auch für den 40°40° Winkel bei EBC\sphericalangle EBC.
BMT 10. Klasse 2013 Aufgabe 6 b) 9.Bild
Zeichne zuletzt noch die Winkel α\alpha und β\beta ein. Das Dreieck ist fertig gezeichnet.
Die Zeichnung ist nun vollständig. Du kannst dich selber kontrollieren, indem du α\alpha und β\beta misst. Wenn α=60°\alpha=60° und β=80°\beta =80° sind,ist deine Zeichnung richtig.
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