Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Berechnen Sie die reellen Zahlen x und y, die das folgende Gleichungssystem erfüllen: (2 BE)
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rllll}I &x &+ &2y &= &3 \\II &4x &+ &5y &= &6\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von linearen Gleichungssystemen
Zum Lösen der Gleichung mithilfe des Einsetzungsverfahrens, stelle Gleichung $I$ nach $x$ um. Nenne die neue Gleichung $I'$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc} I & x & + & 2y & =&3 \\ II & 4x & + & 5y &=&6\end{array}$
Setze nun $x$ aus der umgestellten $I'$ in $II$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc cccl} I & x & + & 2y & =&3 &&&|-2y \\I'&x&&&=&3&-&2y \end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc cccl} I'&x&&&=&3&-&2y \\ II & 4\color{red}{\left( 3-2y\right)} & + & 5y &=&6 \end{array}$
Löse nun Gleichung $II$ nach $y$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc llll} II & 4\left( 3-2y\right) & + & 5y &=&6 \\II&12-8y&+&5y&=&6&|-6\\II'&6&-&3y&=&0 &|+3y \\II''&6&&&=&3y&|:3 \\II'''&2&&&=&y\end{array}$
Setze $y$ in Gleichung $I'$ ein .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc ccll} I'&x&=&3&-&2y&=&3&-&2\cdot2 \\&&=&3&-&4&=&-1 \\II'''&y&=&2\end{array}$
Die Gleichung wird von $x=-1$ und $y=2$ gelöst.
2
Ein Lastwagen beliefert ein Ferienhaus im Süden Europas mit Wasser. Schätzen Sie mithilfe der Abbildung ab, wie viele Kubikmeter Wasser der Wassertank des Lastwagens fasst. (2 BE)
Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schätzen
Der Wassertank hat ungefähr die Form eines liegenden Zylinders. Um das Fassungsvermögen daher abschätzen zu können, brauchst du den Radius des Zylinders und dessen Höhe.
Das Volumen des Tanks lässt sich dann durch $V_\text{Zylinder}=r^2\pi\cdot h$ berechnen.
Um etwas schätzen zu können, brauchst du einen Vergleichsmaßstab, dessen Größe du in etwa kennst. Hier bietet es sich an die Körperhöhe eines der Menschen neben dem Tank als Vergleichsmaßstab zu wählen.
Ein durchschnittlicher Mann ist circa $1{,}80\ \text{m}$ groß. Der Durchmesser des Wassertanks ist fast so groß wie einer der Männer, also $d=2r=1{,}80\ \text{m}$ $\Rightarrow r=0{,}9\ \text{m}$ .
Um $h$ zu bestimmen nutzt du am Besten wieder einen durchschnittlichen Mann als Vergleichsgröße. $h$ ist in etwa $1{,}5$ mal so lang wie einer der Männer, wenn man eine Verzerrung nach hinten berücksichtigt, also $h=1{,}5\cdot1{,}8\ \text{m}=2{,}7\ \text{m}$ .
Nun musst du nur noch $h$ und $r$ in die Volumenformel für den Zylinder einsetzen.
$V_\text{Tank}\approx V_\text{Zylinder}=r^2\pi \cdot h = (0{,}9\text{m})^2\cdot \pi \cdot 2{,}7\text{m} \approx 6{,}9 \text{m}^3$
Der Tank fasst in etwa $6{,}9\text{m}^3$ Wasser.
Hinweis: Zu dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Herangehensweisen. Es ist vor allem wichtig schlüßig zu erklären, welche Annahmen und Vergleichsmaßstäbe du benutzt. Hier wäre zum Beispiel auch eine Abschätzung mithilfe eines Quaders denkbar. Vergleichsmaßstab könnte auch die Höhe der Treppe am Tank oder die Höhe des Führerhaus des Wagens sein.
3
Die Abbildung zeigt für das Jahr 2010, welcher Anteil der Bergbau-Jahresproduktion von Gold bzw. Palladium für die Herstellung von Mobiltelefonen, PC und Laptops aufgewendet wurde. Außerdem ist für die beiden Edelmetalle jeweils der Wert pro Kilogramm in Euro angegeben.
1. Im Jahr 2010 wurden weltweit für die Herstellung von ungefähr zwei Milliarden Mobiltelefonen, PC und Laptops 40 Tonnen Palladium verwendet. Kreuzen Sie an, wie viele Tonnen Palladium im Jahr 2010 durch Bergbau gewonnen wurden. (1 BE)
  2 t
  8 t
  20 t
  80 t
  200 t
  800 t
  
  Für diese Aufgabe musst du die Prozentrechnung beherrschen.
  Für die Herstellung von 2 Milliarden Mobiltelefonen, PC und Laptops wurden 40t Palladium verwendet. Laut dem Diagramm entspricht dies $20\ \%$ der Palladium Jahresproduktion.
  $40~t\widehat=20~\%$ | $:20$
  $2~t\widehat=1~\%$ | $\cdot100$
  $200~t\widehat=100~\%$
  Im Jahr 2010 wurden $200\ t$ Palladium durch Bergbau gewonnen.
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2. Man geht davon aus, dass sich in Deutschland in den Haushalten 100 Millionen Mobiltelefone befinden, die nicht mehr verwendet werden. Durchschnittlich enthält ein Mobiltelefon 20 Milligramm Gold. Berechnen Sie den Gesamtwert (in Euro) des in diesen Mobiltelefonen enthaltenen Golds. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du Kenntnisse über die Umrechnung von Gewichtseinheiten.
  $1\ g=1000\ mg$
  $1\ kg=1000\ g$
  Berechne zuerst das Gewicht des Goldes, das sich in 100 Millionen Mobiltelefonen befindet, wenn jedes Mobiltelefon durchschnittlich $20\ mg$ Gold enthält.
  $100.000.000\cdot20\ mg=2.000.000.000\ mg=2.000.000\ g=2.000\ kg$
  Ermittle nun den Gesamtwert des in den 100 Millionen Mobiltelefonen enthaltenen Goldes, wenn $1\ kg$ Gold $40000\ €$ wert ist.
  $2.000\cdot40.000\ €=80.000.000\ €=80$ Millionen $€$ .
  Der Gesamtwert des in 100 Millionen Mobiltelefonen enthaltenen Goldes beträgt $80$ Millionen $€$ .
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4
Die Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ . Der Punkt $P$ hat von $M$ die Entfernung $s$ . Eine durch $P$ verlaufende Tangente an den Kreis berührt diesen im Punkt $Q$ .
1. Beschreiben Sie in Kurzform, wie man den Punkt $Q$ konstruieren kann, wenn nur der Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ sowie der Punkt $P$ gegeben sind. (2 BE)
  Hinweis: In der geforderten Kurzform müsste z. B. die Konstruktion einer Parallelen nicht beschrieben werden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
  Für diese Aufgabe musst du den Thaleskreis kennen.
  Gegeben:
  Ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ und ein Punkt $P$ , der von $M$ die Entfernung $s$ hat.
  Eine durch $P$ verlaufende Tangente an den Kreis berührt diesen im Punkt $Q$ .
  Konstruktion:
  Zeichne die Verbindungsstrecke $\overline{MP}$ ein. Konstruieren den Mittelpunkt $T$ dieser Strecke. Schlage um $T$ einen Kreis mit dem Radius $\overline{TM}=\overline{TP}$ . Dieser schneidet den Kreis um $M$ mit dem Radius $r$ in $Q$ .
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2. Geben Sie einen Term an, mit dem $\overline{PQ}$ aus $r$ und $s$ berechnet werden kann. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Für diese Aufgabe benötigst du den Satz des Pythagoras.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}r²+(\overline{PQ})²=s²\\\overline{PQ}=\sqrt{s²-r²}\end{array}$
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3. Durch den Punkt $P$ wird eine zweite Tangente an den Kreis gezeichnet. Sie berührt den Kreis im Punkt $R$ , der mit $P, Q$ und $M$ die Eckpunkte eines Drachenvierecks bildet. Geben Sie einen Term an, mit dem man den Flächeninhalt dieses Drachenvierecks aus $r$ und $\overline{PQ}$ berechnen kann. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet.
  Die Fläche des Dreiecks $\bigtriangleup PQM$ ist gleich der Fläche des Dreiecks $\bigtriangleup PMR$ .
  Berechne also 2 mal die Fläche des Dreiecks $\bigtriangleup PQM$ .
  $A_{Drachenviereck}=2\cdot(\frac12\cdot\overline{PQ}\cdot r)=\overline{PQ}\cdot r$
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4. Entscheiden Sie für jede der folgenden Gleichungen, ob sie richtig oder falsch ist. Kreuzen Sie nur die richtigen Gleichungen an. (2 BE)
  $\sin \varphi=\frac{r}{s}$
  $\cos \varphi=\frac{s}{\overline{PQ}}$
  $\tan \varphi=\frac{r}{s}$
  $\sin \varphi=\frac{r}{\overline{PQ}}$
  $\cos \varphi=\frac{\overline{PQ}}{r}$
  $\tan \varphi=\frac{r}{\overline{PQ}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: sin, cos, tan
  Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man sin, cos, tan berechnet.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\sin\varphi=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}=\dfrac r{s}\\\\\cos\varphi=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\dfrac{\overline{PQ}}s\\\\\tan\varphi=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac r{\overline{PQ}}\end{array}$
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5
Eine von Gehwegen begrenzte Rasenfläche hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten acht Meter bzw. fünf Meter lang sind. Für die Rasenfläche ist ein Sandkasten in der Form eines Rechtecks vorgesehen, dessen Eckpunkte wie abgebildet auf den Seiten des Dreiecks liegen. Dieses Rechteck ist $x$ Meter lang und $a$ Meter breit.
1. Mithilfe des Strahlensatzes wurde eine Gleichung aufgestellt, die den Zusammenhang zwischen $a$ und $x$ richtig beschreibt. Kreuzen Sie diese Gleichung an. (1 BE)
  $\frac{5}{x}=\frac{8}{a}$
  $\frac{5}{x}=\frac{a}{5-x}$
  $\frac{5}{x}=\frac{3}{a}$
  $\frac{5}{x}=\frac{8}{8-a}$
  $\frac{5}{x}=\frac{8-a}{8}$
2. Der Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks lässt sich in Abhängigkeit von $x$ durch die Funktion $A$ mit
  $\;A(x)=x\;\cdot\;(8\;-\frac85x)\;$ und $\;0\leq x\leq 5$ beschreiben. Geben Sie die Nullstellen der Funktion $A$ und mithilfe dieser Nullstellen die x-Koordinate des Scheitels der zu $A$ gehörenden Parabel an. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe musst du die Berechnung von Nullstellen beherrschen.
  Berechne die Nullstellen von
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A(x)=x\cdot(8-\frac85\cdot x)\end{array}$ im Bereich $0\leq x\leq5$ .
  $x\cdot(8-\frac85\cdot x)=0$
  Die Gleichung hat den Wert $0$ , wenn einer der beiden Faktoren den Wert $0$ hat.
  $x_{1}=0$
  $x_{2}=5$
  Die beiden Nullstellen sind $x_1=0$ und $x_2=5$ .
  Die x Koordinate des Scheitels ist $x=2{,}5$ , da die x Koordinate des Scheitels in der Mitte der beiden Nulstellen liegt.
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3. Deuten Sie im Sachzusammenhang die x-Koordinate des Scheitels der zu $A$ gehörenden Parabel. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe musst du die Berechnung des Scheitelpunktes beherrschen.
  Benutze für die Funktion $A$ die Formel für den Scheitelpunkt.
  $A(x)=-\frac85x²+8x$
  $S(\;-\dfrac8{\frac{-16}5}\;\vert\;\;-\dfrac{64}{\frac{-32}5}\;)=S(2{,}5\vert10)$
  Der Scheitel der Parabel hat die Koordinaten $S(2{,}5|10)$ .
  Für eine Länge von 2,5 m wird der Flächeninhalt des Sandkastens maximal.
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6
Es soll ein Dreieck ABC gezeichnet werden, für das der Umfang $u=a+b+c$ sowie die Winkelgrößen $\alpha=60^\circ$ und $\beta=80^\circ$ gegeben sind; dazu soll die abgebildete, nicht maßstabsgetreue Überlegungsfigur genutzt werden.
1. Begründen Sie, dass $\delta=30^\circ$ gilt. (2 BE)
  
  Tipp: Betrachte die Dreiecke $\triangle BCE$ und $\triangle ADC$ . Fällt dir etwas auf?
  Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass $\alpha=60°$ beträgt. Mit Hilfe dieser Angabe kannst du den Winkel $\sphericalangle CAD$ bestimmen. Wende dafür die Regel für den Nebenwinkel an.
  $\sphericalangle CAD+\alpha=180°$
  Stelle nach $\sphericalangle CAD$ um und setze für $\alpha=60°$ ein.
  $\sphericalangle CAD=120°$
  Das Dreieck $\triangle ADC$ ist ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seiten $\overline{AC}=\overline{AD}=b$ sind. Für die Innenwinkelsumme im Dreieck $\triangle ADC$ ergibt sich:
  $\sphericalangle DCA+\delta+ \sphericalangle CAD =180°$
  In diesem Dreieck gilt, wegen der Gleichschenkligkeit $\sphericalangle DCA=\delta$ . Du kannst also vereinfacht schreiben:
  $2\cdot\delta+ \sphericalangle CAD =180°$
  Setze den Wert von $\sphericalangle CAD$ ein und forme nach $2\cdot\delta$ um.
  $2\cdot \delta =60°$ $|:2$
  $\delta =30°$
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2. Zeichnen Sie das Dreieck $ABC$ , wenn sein Umfang u durch die unten gezeichnete Strecke gegeben ist. Beschriften Sie Ihre Zeichnung so, dass der Lösungsweg erkennbar wird. (2 BE)
  Hinweis: Im Originaltext wurde auf dem Blatt eine Strecke für den Umfang vorgegeben.
  Wenn du die Aufgabe bearbeiten möchtest, zeichne als Umfang eine etwa $15\ cm$ lange Strecke wie unten abgebildet.
  
  Betrachte zunächst das Dreieck $\triangle BCE$ . Den Winkel $\sphericalangle EBC$ erhältst du, wenn du den Nebenwinkel $\beta$ zur Hilfe nimmst.
  $\sphericalangle EBC+\beta=180°$
  Stelle nach $\sphericalangle EBC$ um und setze für $\beta =80°$ ein.
  $\sphericalangle EBC=100°$
  Wie bei Teilaufgabe 1) musst du auch hier alle Winkel im Dreieck $\triangle BCE$ bestimmen, um das Dreieck zeichnen zu können. $\triangle BCE$ ist wieder ein gleichschenkliges Dreieck. Wir können also wieder mit der Innenwinkelsumme für Dreiecke $\varepsilon$ bestimmen.
  $2\cdot\varepsilon+ \sphericalangle EBC =180°$
  Setze den Wert von $\sphericalangle EBC$ ein und forme nach $2\cdot\varepsilon$ um.
  $2\cdot \varepsilon =80°$ $|:2$
  $\varepsilon =40°$
  Die unten gekennzeichnete Strecke beschreibt die Strecke $\overline{DE}$ . Wir wollen zunächst den Punkt $C$ konstruieren und messen deswegen, mit dem Geodreieck $\delta$ ab.
  Zeichne eine Halbgerade ab dem Punkt $D$ .
  Mache nun das Gleiche mit $\varepsilon$ . Der Schnittpunkt beider Halbgeraden ist unser Punkt $C$ .
  Mit Hilfe des Geodreiecks kannst du jetzt den Punkt $A$ konstruieren. Trage dazu $30°$ von der Strecke $\overline{DC}$ ab.
  Mache das Gleiche auch für den $40°$ Winkel bei $\sphericalangle EBC$ .
  Zeichne zuletzt noch die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ein. Das Dreieck ist fertig gezeichnet.
  Die Zeichnung ist nun vollständig. Du kannst dich selber kontrollieren, indem du $\alpha$ und $\beta$ misst. Wenn $\alpha=60°$ und $\beta =80°$ sind,ist deine Zeichnung richtig.
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