Um diese Aufgabe erfolgreich lösen zu können, muss Dir der Zusammenhang von Koordinaten eines Punktes und zugehörigem Ortsvektor klar sein, außerdem brauchst Du die Vektoraddition.

Laut Angabe sind $A$, $B$ und $M$ gegeben, wobei $M$ der Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks $ABCD$ ist. Zum Punkt $C$ gelangt man also, wenn man zu $\vec{m}$ noch $\overrightarrow{AM}$ addiert. Hierzu muss man sich in Erinnerung rufen, dass sich die Diagonalen im Parallelogramm gegenseitig halbieren, d. h. $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}$. Und $\overrightarrow{AM}$ selbst wird als Differenzvektor $\vec{m}-\vec{a}$ berechnet.

Der Summenvektor zeigt dann gerade auf Punkt $C$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{c} &=&\vec{m}+\overrightarrow{AM} \\ &=& \vec{m}+\left(\vec{m}-\vec{a}\right) = 2\cdot\vec{m}-\vec{a}\\ &=& 2\cdot\begin{pmatrix}2{,}5\\0\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\-4\\0\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\end{array}$

$C$ hat also die Koordinaten $(0|4|4)$.

Für die Normalenform der Ebene $E$ benötigst Du den Normalenvektor und einen Punkt, der in der Ebene liegt, z. B. Punkt $A$.

Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene, man ermittelt ihn mithilfe zweier linear unabhängiger Vektoren, die in der Ebene liegen, z. B. $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{BM}$, durch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Vektoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{n} &=&\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{BM} \\ &=& \begin{pmatrix}-2{,}5\\4\\2\end{pmatrix}\times\left(\vec{m}-\vec{b}\right) = \\ &=& \begin{pmatrix}-2{,}5\\4\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2{,}5-5\\0-4\\2-0\end{pmatrix}= \\ &=& \begin{pmatrix}-2{,}5\\4\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4\\2\end{pmatrix}= \\ &=& \begin{pmatrix}4\cdot 2-2\cdot(-4)\\2\cdot(-2{,}5)-(-2{,}5)\cdot 2 \\-2{,}5\cdot (-4)-4\cdot(-2{,}5)\end{pmatrix}= \\ &=& \begin{pmatrix}16\\0\\20\end{pmatrix}\end{array}$

Zusammen mit dem Punkt $A$ wird daraus die Normalenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\vec{n}\circ\left(\vec{x}-\vec{a}\right) &=& 0 \\ \begin{pmatrix}16\\0\\20\end{pmatrix} \circ\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\-4\\0\end{pmatrix}\right) &=& 0 \\ 16x_1+20x_3 -80 &=& 0 \\ 4x_1+5x_3 -20 &=& 0 \end{array}$

Beim ersten Lesen könnte man meinen, dass man sich mit Sonnenuhren und der Astrophysik auskennen muss, aber tatsächlich muss man einfach nur die Aufgabe lesen können, den Winkel $\alpha$ als Schnittwinkel zweier Ebenen bestimmen können, und schließlich mit der gegebenen Beziehung $\alpha+\varphi =90^\circ$ auf $\varphi$ schließen können, um somit die geographische Breite zu bestimmen!

Da von der Grundplatte schon der Normalenvektor bekannt ist, bestimmt man den Schnittwinkel am einfachsten, indem man den Winkel zwischen den Normalenvektoren von Grundplatte und der horizontaler Ebenen bestimmt. Diesen Zusammenhang zeigt das nachfolgende Bild, wobei zur Hervorhebung des Zusammenhangs die Ebenen so liegen, dass man in Richtung der Schnittlinie zwischen den Ebenen schaut.

Der Normalenvektor der horizontalen Ebene, das ist die $x_1$-$x_2$-Ebene, ist die $x_3$-Achse, also $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Somit ergibt sich $\alpha$ mit dem Ansatz:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \cos\alpha&=&\frac{\vec{n}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\left|\vec{n}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|} \\ &=& \frac{\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{4^2+0^2+5^2}\cdot 1} \\ &=& \frac{5}{\sqrt{41}} \\ &=& 0{,}781\end{array}$

Daraus folgt $\alpha = 38{,}7^\circ$

Und für die geographische Breite $\varphi$ ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\varphi &=& 90^\circ -\alpha \\ &=& 90^\circ-38{,}7^\circ \\ &=& 51{,}3^\circ \end{array}$

Die Stadt Leipzig hat beispielsweise diese geographische Breite.

Um diese Teilaufgabe zu lösen, wird zunächst der Polstab als Differenzvektor $\overrightarrow{MS}$ dargestellt. Der Beweis, dass $\overrightarrow{MS}$ senkrecht auf der Grundplatte steht ist gleichwertig mit dem Beweis, dass $\overrightarrow{MS}$ ein Vielfaches des Normalenvektors $\vec{n}$ ist.

Denn der Normalenvektor steht senkrecht auf der Grundplatte, sonst wäre er nicht der Normalenvektor. Ein weiterer Vektor steht also seinerseits senkrecht auf der Grundplatte, wenn er ein Vielfaches des Normalenvektors ist.

Polstab als Differenzvektor

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overrightarrow{MS} &=& \begin{pmatrix}4{,}5\\0\\4{,}5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2{,}5\\0\\2\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}2\\0\\2{,}5\end{pmatrix} \end{array}$

Polstab steht senkrecht auf der Grundplatte

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overrightarrow{MS} &=& \begin{pmatrix}2\\0\\2{,}5\end{pmatrix} \\ &=& \frac18\cdot\begin{pmatrix}16\\0\\20\end{pmatrix} \\ &=& \frac18\cdot \vec{n}\end{array}$

$\overrightarrow{MS}$ ist also ein Vielfaches vom Normalenvektor $\vec{n}$ und steht somit ebenfalls senkrecht auf der Grundplatte.

Länge des Polstabs

Die Länge des Polstabs ist der Betrag des zugehörigen Vektors:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left|\overrightarrow{MS}\right| &=& \left|\begin{pmatrix}2\\0\\2{,}5\end{pmatrix}\right| \\ &=& \sqrt{2{,}5^2+2^2} \\ &=& 3{,}202\end{array}$

Aus den $3{,}202$ Lägeneinheiten werden mit dem gegebenen Maßstab $32{,}02$ cm, das sind mit der geforderten Genauigkeit $32$ cm.

Zur Berbeitung der Teilaufgabe stellst Du Dir den Sonnenstrahl, der die Spitze $S$ des Polstabs trifft, als Gerade $g$ durch $S$ mit dem Richtungsvektor $\vec{u}$ vor. Als nächstes suchst Du den Schnittpunkt $P$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$. Schließlich muss man aus den Koordinaten des Punkts $P$ herauslesen, dass er nicht mehr innerhalb des Rechtecks $ABCD$ liegen kann.

Die Abbildung veranschaulicht die gegenseitige Lage der Objekte.

Aufstellen der Geradengleichung

Die Gerade $g$ stellt den Sonnenstrahl dar, der gerade durch die Spitze des Polstabs verläuft und ergibt sich somit durch Kombination der Polstabspitze $S$ mit dem Richtungsvektor $\vec{u}$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g: \vec{x} &=& \begin{pmatrix}4{,}5\\0\\4{,}5\end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}6\\6\\-13\end{pmatrix}\end{array}$

Schnittpunkt von $g$ mit $E$

Zur Bestimmung des Schnittpunkt $P=g\cap E$ setzt man die 3 Koordinaten der Parameterform der Geradengleichung in die Normalenform der Ebene $E$ ein und erhält eine Gleichung für $\lambda$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 4x_1+5x_3 -20 &=& 0 \\ 4\cdot(4{,}5+6\lambda)+5\cdot (4{,}5-13\lambda) -20 &=& 0 \\ 20{,}5 -41\lambda &=& 0 \\ \lambda &=& \frac12\end{array}$

Für den Schnittpunkt $P$ ergibt sich durch Einsetzen von $\lambda=\frac12$ in $g$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{p} &=& \begin{pmatrix}4{,}5\\0\\4{,}5\end{pmatrix} + \frac12\cdot \begin{pmatrix}6\\6\\-13\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7{,}5\\3\\-2\end{pmatrix}\end{array}$

Nachweis der Behauptung

Am einfachsten und schnellsten geht der Nachweis, wenn man erkennt, dass die $x_3$-Koordinate von $P$ negativ ist. Die Grundplatte steht aber so auf der horizontalen Ebene, dass alle Punkte der Grundplatte positive $x_3$-Koordinaten haben. Somit kann der Schatten der Spitze des Polstabs nicht auf der Grundplatte liegen!

Je nach Uhrzeit kommt der Sonnen/Schattenstrahl durch die Spitze $S$ des Polstabs aus dem Halbraum mit $x_2<0$, das ist in der Früh bis 12.00 Uhr Mittag der Fall oder aus dem Halbraum mit $x_2>0$ am Nachmittag. Mittags verläuft der Strahl genau in der $x_1$-$x_3$-Ebene (d. h. $x_2=0$).

Es genügt also die $x_2$ Koordinate des Richtungsvektors $\vec{u}$ zu betrachten. Diese ist positiv. Das heißt wegen der Drehbewegung um die Spitze $S$ des Polstabs, dass die Sonne selbst im Halbraum mit $x_2<0$ stehen muss.

Also ist $t_0$ ein Zeitpunkt, der vor Mittag liegt!

Die Abbildung zeigt den Lauf der Sonne und den Schattenwurf auf der Grundplatte: