Lösung von quadratischen Gleichungen

1 Überblick

Du kennst bisher lineare Gleichungen mit einem $x$ und mit Zahlen und du kannst diese einfachen Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen. Nun kommen in den Gleichungen außer $x$ und Zahlen auch noch $x^{2}$ vor. Diese Gleichungen nennt man quadratische Gleichungen.

Du lernst verschiedene Formen von quadratischen Gleichungen kennen und lernst, wie du sie geschickt lösen kannst. Das ist der Inhalt dieses Kurses.

Zu jeder Gleichungsform findest du eine Animation, mit deren Hilfe der jeweilige Lösungsweg schrittweise erklärt und grafisch veranschaulicht wird.

Dieser Kurs eignet sich zur Wiederholung und zur Vertiefung deiner Kenntnisse zu quadratischen Gleichungen - ebenso aber auch zur selbstständigen Erarbeitung.

2 Einführungsbeispiel für quadratische Gleichungen

Bei vielen Problemen in der Mathematik, Physik oder anderen Gebieten spielen quadratische Funktionen eine große Rolle. Man kann mit ihnen z.B. den Bremsweg eines Autos berechnen oder die Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen beschreiben.

Die Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen lässt sich durch folgende quadratische Funktion beschreiben:

$h(x)=-0{,}05\cdot x^2+0{,}9\cdot x+2$ mit $x\ge0$ .

Dabei beschreibt $h\left(x\right)$ die Höhe der Kugel über dem Erdboden und die Variable $x$ gibt den Abstand der Kugel vom Abwurfpunkt an.

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Für den Kugelstoßer ist die erzielte Wurfweite wichtig. Die Wurfweite ist die Stelle auf der x-Achse, an der $h (x) = 0$ ist. Wir müssen also die Gleichung $-0{,}05\cdot x^2+0{,}9\cdot x+2=0$ lösen.

Im Verlauf dieses Kurses lernst du diese Gleichung zu lösen.

3 Die allgemeine quadratische Gleichung

Die Gleichung zur Berechnung der Wurfweite bei einem Kugelstoß ist ein Beispiel für eine quadratische Gleichung: $-0{,}05\cdot x^2+0{,}9\cdot x+2=0$

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, die man auf die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a\in\mathbb R \backslash \{0\}$ und $b,c\in \mathbb R$ ) bringen kann.

Die allgemeine quadratische Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$ in der Summenform besteht aus drei Summanden:

einem quadratischen Summanden ("mit $x^{2}$ "),
einem linearen Summanden ("mit $x$ ") und
einem konstanten Summanden ("ohne $x$ ")

Sonderfälle der allgemeinen quadratischen Gleichung treten auf, wenn $b = 0$ ist oder wenn $c = 0$ ist.

Die dazu gehörenden Aufgabentypen und weitere Gleichungsformen werden auf den folgenden Kursseiten mit ihren jeweiligen Lösungen vorgestellt.

4 Aufgaben zum Finden der Koeffizienten der allgemeinen quadratischen Gleichung

HINWEIS: Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0$

Dabei sind $a, b$ und $c$ die Koeffizienten dieser Gleichung.

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5 Die reinquadratische Gleichung

Manche quadratische Gleichungen kannst du schon lösen. Sieh dir folgendes Beispiel an.

Beispiel

Löse die folgende Gleichung:

\displaystyle x^2-36=0

Diese Gleichung kannst du mithilfe der Wurzel bereits lösen.

$\displaystyle x^2-36$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +36$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 36$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 6$

Somit hat die Gleichung $x^{2} - 36 = 0$ die Lösungsmenge $: \mathbb{L}=\{-6;6\}$ .

$x^{2} - 36 = 0$ ist eine reinquadratische Gleichung.

Allgemein

Eine reinquadratische Gleichung kannst du daran erkennen, dass der lineare Summand ("mit $x$ ") fehlt, also $b = 0$ ist.

Die reinquadratische Gleichung hat somit die Form: $a x^{2} + c = 0$

Reinquadratische Gleichungen löst man durch Wurzel ziehen.

Mit dem Applet auf der nächsten Seite kannst du dir die Lösungsschritte für eine reinquadratische Gleichung grafisch anzeigen lassen.

6 Grafische Darstellung der Lösungsschritte für eine reinquadratische Gleichung

In der folgenden Animation kannst du die Gleichung mithilfe der Schieberegler für $a$ und $e$ verändern (der lineare Summand heißt hier $e$ statt $c$ ). Voreingestellt ist für $a$ der Wert $a = - 0,5$ und für $e$ der Wert $e = 2$ .

Damit ergibt sich die folgende reinquadratische Gleichung: $-0{,}5x^2+2=0$

Klicke oben links auf die grüne Schaltfläche und mache dir die Lösungsschritte für reinquadratische Gleichungen klar.

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7 Aufgaben zu reinquadratischen Gleichungen

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8 Quadratische Gleichungen, die mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden

Bei dieser Gleichungsform ist $c = 0$ , d.h. es fehlt der konstante Summand der quadratischen Gleichung. Diese Gleichungsform sieht demnach so aus:

$a x^{2} + b x = 0$ oder auch $a x^{2} = - b x$

Quadratische Gleichungen in dieser Form löst man geschickt, indem man alle Summanden auf eine Seite bringt, x ausklammert und anschließend den Satz vom Nullprodukt anwendet.

Musterbeispiel:

$\displaystyle 4x^2-3x$	$=$	$\displaystyle 0\$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle x\cdot(4x-3)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende den Satz vom Nullprodukt an

1. Faktor: $x = 0$

2. Faktor: $\;4x-3=0\;\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{0;\dfrac{3}{4}\}$ .

Null ist immer eine der beiden Lösungen.

Mit dem Applet auf der nächsten Seite kannst du dir die Lösungsschritte für eine quadratische Gleichung dieser Form grafisch anzeigen lassen.

9 Grafische Darstellung der Lösungsschritte für eine quadratische Gleichung mit c=0

Mit der folgenden Animation kannst du wieder die Werte von $a$ und $b$ ändern.

Voreingestellt ist für $a$ der Wert $a = 0,25$ und für $b$ der Wert $b = - 1$ .

Damit ergibt sich die folgende Gleichung:

$0{,}25x^2-1x=0$ bzw. umgeformt: $0{,}25x^2=1x$

Lasse dir die Lösungsschritte mit der Schaltfläche oben links der Reihe nach anzeigen.

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10 Produktform

Eine quadratische Gleichung kann auch in folgender Form vorliegen:

$3\cdot (x-2)\cdot (x+3)=0$

Diese Gleichungsform wird als Produktform bezeichnet.

Die allgemeine Produktform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

$a\cdot(x-u)\cdot(x-v)=0$

Bei dieser Form musst du nur die Nullstellen der sogenannten "Linearfaktoren" berechnen. Oft funktioniert das im Kopf - notfalls mit einer kleinen Nebenrechnung.

Tipp: Kontrolliere deine Lösungen mithilfe einer Probe.

Quadratische Gleichungen vom Typ Produktform löst man geschickt mit dem Satz vom Nullprodukt. Berechne hierzu die Nullstellen der beiden Linearfaktoren.

Musterbeispiel:

$3\cdot (x-2)\cdot (x+3)=0$

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

1. Faktor: $\;3\neq0$ (dieser Faktor liefert keine Nullstelle)

2. Faktor: $\;x-2=0\;\Rightarrow x=2$

3. Faktor: $\;x+3=0\;\Rightarrow x=-3$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-3;2\}$ .

Mit dem Applet auf der nächsten Seite kannst du dir die Lösungsschritte für eine quadratische Gleichung in Produktform grafisch anzeigen lassen.

11 Grafische Darstellung der Lösungsschritte für eine quadratische Gleichung in Produktform

Mit der folgenden Animation kannst du die Werte für $a$ , für $u$ und für $v$ ändern.

Voreingestellt ist für $a$ der Wert $a = 0,25$ , für $u$ der Wert $u = - 3$ und für $v$ der Wert $v = 2$ .

Damit ergibt sich die folgende Gleichung in Produktform: $0{,}25\cdot(x+3)\cdot(x-2)=0$

Lasse dir die Lösungsschritte mit der Schaltfläche oben links der Reihe nach anzeigen.

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12 Aufgaben zu Gleichungen mit c=0 und Produktform

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Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

13 Scheitelform

Die Darstellung einer quadratischen Funktion in folgender Form $f(x)=2\cdot(x-3)^2-4{,}5$ heißt Scheitelform. Man kann den Scheitelpunkt ohne weitere Rechnung ablesen: $S (3 ∣ - 4,4)$

Scheitelform einer quadratischen Funktion

Sollen die Nullstellen der obigen quadratischen Funktion berechnet werden, dann musst du folgende Gleichung lösen: $2\cdot(x-3)^2-4{,}5=0$

Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

$a (x - e)^{2} + d = 0$

Quadratische Gleichungen in der Scheitelform lösen wir geschickt durch Rückwärtsrechnen. Dabei kehren wir die Reihenfolge der Vorfahrtsregeln um.

$\displaystyle 2\cdot(x-3)^2-4{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4{,}5$
	↓	Bringe $4,5$ auf die andere Seite.
$\displaystyle 2\cdot(x-3)^2$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$	$\displaystyle :2$
	↓	Teile durch 2.
$\displaystyle (x-3)^2$	$=$	$\displaystyle 2{,}25$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{(x-3)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2{,}25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen
$\displaystyle \|x-3\|$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich $1,5$ ist: $1,5$ und $- 1,5$ .

Fall 1: $x-3=1{,}5\;\Rightarrow x=4{,}5$

Fall 2: $x-3=-1{,}5\;\Rightarrow x=1{,}5$

Antwort: Die quadratische Funktion $f (x)$ hat die beiden Nullstellen $4,5 $ und $1,5$ .

14 Grafische Darstellung der Lösungsschritte für eine quadratische Gleichung in Scheitelform

Mit der folgenden Animation kannst du die Werte für $a$ , für $d$ und für $e$ ändern.

Voreingestellt ist für $a$ der Wert $a = - 2$ , für $d$ der Wert $d = 1,5$ und für $e$ der Wert $e = 2$ .

Damit ergibt sich die folgende Gleichung in Scheitelform: $-2\cdot(x-1{,}5)^2+2=0$

Lasse dir die Lösungsschritte mit der Schaltfläche oben links der Reihe nach anzeigen.

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15 Aufgaben zur Scheitelform

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Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

16 Gemischtquadratische Gleichungen

Gemischtquadratische Gleichungen enthalten alle drei Typen von Summanden der allgemeinen Form: $a x^{2} + b x + c = 0$

Gemischtquadratische Gleichungen löst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder alternativ mit der pq-Formel.

Musterbeispiel Mitternachtsformel

Löse die quadratische Gleichung: $2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Lies aus der Gleichung die Werte für $a, b$ und $c$ ab: $\;a=2;\; b=-4;\; c=-6$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=2;\; b=-4;\; c=-6$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot(-6)}}{2\cdot 2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+48}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{64}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm8}{4}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -1$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-1;3\}$ .

Musterbeispiel p-q-Formel

Löse die quadratische Gleichung: $x^{2} + 3 x - 10 = 0$

Lies aus der Gleichung die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = 3$ und $\; q=-10$

Setze die Werte in die p-q-Formel ein.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 3$ und $q = - 10$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-10)}$
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\pm\sqrt{2{,}25+10}$
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\pm\sqrt{12{,}25}$
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\pm3{,}5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-5;2\}$ .

Mit dem Applet auf der nächsten Seite kannst du dir die Lösungsschritte für eine gemischtquadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel grafisch anzeigen lassen.

17 Grafische Darstellung der Lösungsschritte für eine gemischtquadratische Gleichung

Mit der folgenden Animation kannst du die Werte für $a$ , für $b$ und für $c$ ändern.

Voreingestellt ist für $a$ der Wert $a = 0,5$ , für $b$ der Wert $b = 2$ und für $c$ der Wert $c = 1,5$ .

Damit ergibt sich die folgende gemischtquadratische Gleichung: $0{,}5x^2+2x+1{,}5=0$

Lasse dir die Lösungsschritte (Mitternachtsformel) mit der Schaltfläche oben links der Reihe nach anzeigen.

Hinweis: Die pq-Formel wird in der folgenden Animation nicht veranschaulicht.

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18 Aufgaben zu gemischtquadratischen Gleichungen

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Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

20 Lösung für das Einführungsbeispiel

Die Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen lässt sich durch folgende quadratische Funktion beschreiben:

$h(x)=-0{,}05\cdot x^2+0{,}9\cdot x+2$ mit $x\ge0$ .

Dabei beschreibt $h\left(x\right)$ die Höhe der Kugel über dem Erdboden und die Variable $x$ gibt den Abstand der Kugel vom Abwurfpunkt an.

Für den Kugelstoßer ist die erzielte Wurfweite wichtig. Die Wurfweite ist die Stelle auf der x-Achse, an der $h (x) = 0$ ist.

Du musst also die Gleichung $-0{,}05\cdot x^2+0{,}9\cdot x+2=0$ lösen.

Du kannst diese Gleichung mit der Mitternachtsformel lösen. Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ aus der Gleichung ab: $a = - 0,05$ , $b = 0,9$ und $c = 2$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 0,05$ ; $b = 0,9$ und $c = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-0{,}9\pm\sqrt{(0{,}9)^2-4\cdot(-0{,}05)\cdot2}}{2\cdot(-0{,}05)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-0{,}9\pm\sqrt{1{,}21}}{-0{,}1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-0{,}9\pm1{,}1}{-0{,}1}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Dieser Wert ist $< 0$ , d.h. er entfällt wegen $x\ge0$ .
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 20$

Antwort: Die gesuchte Wurfweite beträgt $20 \;\text{m}$ .

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