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13Scheitelform

Scheitelform einer quadratischen Funktion

Die Darstellung einer quadratischen Funktion in folgender Form f(x)=2(x3)24,5f(x)=2\cdot(x-3)^2-4{,}5 heißt Scheitelform. Man kann den Scheitelpunkt ohne weitere Rechnung ablesen: S(34,4)S(3|-4{,}4)

Sollen die Nullstellen der obigen quadratischen Funktion berechnet werden, dann musst du folgende Gleichung lösen: 2(x3)24,5=02\cdot(x-3)^2-4{,}5=0

Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

a(xe)2+d=0a(x-e)^2+d=0

Quadratische Gleichungen in der Scheitelform lösen wir geschickt durch Rückwärtsrechnen. Dabei kehren wir die Reihenfolge der Vorfahrtsregeln um.

2(x3)24,5\displaystyle 2\cdot(x-3)^2-4{,}5==0\displaystyle 0+4,5\displaystyle +4{,}5

Bringe 4,54{,}5 auf die andere Seite.

2(x3)2\displaystyle 2\cdot(x-3)^2==4,5\displaystyle 4{,}5:2\displaystyle :2

Teile durch 2.

(x3)2\displaystyle (x-3)^2==2,25\displaystyle 2{,}25\displaystyle \sqrt{}

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.

(x3)2\displaystyle \sqrt{(x-3)^2}==2,25\displaystyle \sqrt{2{,}25}

Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen

x3\displaystyle |x-3|==1,5\displaystyle 1{,}5

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich 1,51{,}5​ ist: 1,51{,}5​ und 1,5-1{,}5​.

Fall 1:  x3=1,5  x=4,5x-3=1{,}5\;\Rightarrow x=4{,}5

Fall 2:  x3=1,5  x=1,5x-3=-1{,}5\;\Rightarrow x=1{,}5

Antwort: Die quadratische Funktion f(x)f(x) hat die beiden Nullstellen 4,54{,}5​ und 1,51{,}5​.


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