Gemischte Aufgaben

Gliedere den Term $\left(153+12\right)-\left[53-\left(18+33\right)\right]$ und berechne seinen Wert.

Für die folgenden Terme befolge diese Arbeitsanweisungen:

Mache jeweils eine Überschlagsrechnung!
Berechne den Wert des Terms!
Überlege, ob man Klammern weglassen kann, ohne den Wert des Terms zu ändern!

$\left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213$

$2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]$

3
Stelle mit vier Vieren und den dir bekannten Rechenzeichen die Zahlen von 0 bis 9 dar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
9 Gleichungen aufstellen. z.B.:
$0=4+4-4-4$
$1=4:4+4-4$
$2=4:4+4:4$
$3=\left(4+4+4\right):4$
$4=\left(4-4\right):4+4$
$5=\left(4\cdot4+4\right):4$
$6=\left(4+4\right):4+4$
$7=4+4-4:4$
$8=4+4+4-4$
$9=4+4+4:4$
4
Gib den Term an und berechne seinen Wert.
1. Subtrahiere die Differenz der Zahlen 7012 und 5876 von der Summe der Zahlen 3214 und 9867.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion
  Subtrahiere Differenz von Summe heißt:
  Mit Zahlen also:
  $\displaystyle \left(3214+9867\right)-\left(7012-5876\right)$ $=$ $\displaystyle 13081-1136$
  $=$ $\displaystyle 11945$
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2. Von der Summe der Zahlen 378 und 623 ist die Differenz der Zahlen 1111 und 222 zu subtrahieren.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion
  $378,\;623$
  Summe bilden.
  $\displaystyle 378+623$ $=$ $\displaystyle 1001$
  $1111,\;222$
  Differenz bilden.
  $\displaystyle 1111-222$ $=$ $\displaystyle 889$
  ↓
  Beide Werte voneinander subtrahieren
  $\displaystyle 1001-889$ $=$ $\displaystyle 112$
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3. Zu der Differenz der Zahlen 1423 und 577 ist die Differenz der Zahlen 1078 und 723 zu addieren.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition
  $1423,\;577$
  Differenz bilden.
  $\displaystyle 1423-577$ $=$ $\displaystyle 846$
  $1078,\;723$
  Differenz bilden.
  $\displaystyle 1078-723$ $=$ $\displaystyle 355$
  ↓
  Beide Werte addieren
  $\displaystyle 846+355$ $=$ $\displaystyle 1201$
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5
Dividiere die Summe der Zahlen 77 und 66 durch ihre Differenz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
77, 66
Bilde zuerst die Summe von 77 und 66.
$77+66=143$
Jetzt bildest du die Differenz von 77 und 66.
$77-66=11$
Jetzt kannst du die Ergebnisse durcheinander dividiern .
$143:11=13$

Welcher Fehler wurde bei folgender Rechnung gemacht?

$"123+\left(321\cdot213-132\right)=321\cdot213=68373-132=68241+123=68364"$

9
Mache zunächst eine Überschlagsrechnung. Führe dann die Rechnung aus und vergleiche die Ergebnisse.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $876+54321+1234+56789$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überschlagsrechnung
  Überschlag
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 876+54321+1234+56789 &\approx &1000+54000+1000+57000\\ &=& 113000 \end{array}$
  Exakte Berechnung
  $876+54321+1234+56789=55197+58023=113220$
  Unterschied zum Überschlag
  Um den Unterschied zwischen der exakten Berechnung und dem Überschlag zu ermitteln, musst du beide Ergebnisse voneinander abziehen:
  Also ist der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen $220$ .
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $10133\cdot12345$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überschlagsrechnung
  Überschlagsrechnung
  $10133\cdot12345\approx10\,000\cdot12\;000=120\,000\;000$
  Exakte Berechnung
  $10133\cdot12345 = 125\,091\,885$
  Unterschied zum Überschlag
  Um den Unterschied zwischen der exakten Berechnung und dem Überschlag zu ermitteln, musst du beide Ergebnisse voneinander abziehen:
  Also ist der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen $5\,091\,885$ .
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $12345:823$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überschlagsrechnung
  Überschlag
  $12345:823\approx$
  Dividend und Divisor beide etwa um ein Viertel aufrunden.
  $\approx15.000:1.000 = 15$
  Exakte Berechnung
  $12345:823=15$
  $\implies$ Überschlag und Ergebnis stimmen überein!
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10
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Als Schüler musste der Mathematiker Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er schrieb:
$1+2+3+\dots+98+99+100\\=\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\dots+\left(50+51\right)\\=101\cdot50\\=5050$
Addiere mit einem ähnlichem Trick die ungeraden Zahlen von 1 bis 999.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Von 1 bis 1000 gibt es je 500 gerade und ungerade Zahlen. Die 500 ungeraden Zahlen lässen sich zu 250 solcher Klammerausdrücke zusammenfassen. Dabei ist die Summe in jeder Klammer 1000
$1+3+…+997+999$
$=\underbrace{\left(1+999\right)}_{1000}+\underbrace{\left(3+997\right)}_{1000}+…+\underbrace{\left(499+501\right)}_{1000}\\\\=1000\cdot 250\\=250\,000$
11
Berechne
1. $234+34+213+14=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition
  $234+34+213+14=$
  Paarweises Addieren.
  $=268+227=$
  $=495$
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2. $135\cdot333=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
  $135\cdot333=$
  Schriftlich multiplizieren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\underline{135\cdot333}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;405\\\;\;\;\;\;\;405\\\underline{+\;405\;\;\;\;}\\\;\;\;\;44955\end{array}$
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3. $54188:23=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
  $54188:23=$
  Schriftlich dividieren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}54188\;:\;23=2356\\\underline{46}\downarrow\\\;\;8\;1\\\;\;\underline{69}\\\;\;128\\\;\;\underline{115}\\\;\;\;\;138\\\;\;\;\;\underline{138}\\\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
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12
Stelle mit den Zahlen $25, 9, 11$ und $4$ , verschiedene Terme auf und berechne sie.
1. Bei mindestens drei Termen soll das Ergebnis mindestens $0$ und höchstens $10$ sein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
  $25-9-11+4=9$
  $25-9-11-4=1$
  $4\cdot9-11-25=0$
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2. Bei mindestens drei Termen soll das Ergebnis mindestens $100$ und höchstens $120$ sein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
  $25\cdot4+11-9=102$
  $9\cdot11-4+25=120$
  $25\cdot4+9+11^0=110$
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13
Löse die folgenden Aufgaben.
1. Überprüfe durch Berechnen von $144:4$ und $100:4+44:4$ , ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $144:4=36$
  Probe des Distributivgesetzes
  $\displaystyle 100:4+44:4$
  $=$ $\displaystyle 25+11$
  $=$ $\displaystyle 36$
  Die Ergebnisse beider Berechnungswege sind gleich.
  ⇒ Das Distributivgesetz gilt auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten.
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2. Überpüfe durch Berechnung von $1440:10$ und $1440:18-1440:8$ , ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $1440:10=144$
  Probe des Distributivgesetzes
  $=$ $\displaystyle 1440:18-1440:8$
  $=$ $\displaystyle 80-180$
  $=$ $\displaystyle -100$
  Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen nicht überein.
  $\;\Rightarrow$ Das Distributivgestz gilt nicht bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten.
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14
Löse die folgenden Aufgaben
1. $6-4+8:2$
2. $4\cdot2+3$
3. $15-7\cdot2+4$
4. $25+14-13\cdot3+5$
5. $5\cdot3\cdot7+1$
6. $6:3+15:3$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213$	$=$
	↓	Überschlage und rechne die Klammern aus
$\displaystyle \left[4531-\left(2100-1800\right)\right]-3200$	$=$
$\displaystyle \left[4500-300\right]-3200$	$=$	$\displaystyle 4200-3200$
	$=$	$\displaystyle 1000$

$\displaystyle \left[4531-\left(2143-1824\right)-3213\right]$	$=$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle \left[4531-319\right]-3213$	$=$	$\displaystyle 4212-3213$
	$=$	$\displaystyle 999$

$\displaystyle 2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]$	$=$
	↓	Überschlage und rechne alle Klammern aus
$\displaystyle 2000-\left[\left(700-300\right)-\left(300-200\right)\right]$	$=$
$\displaystyle 2000-\left(400-100\right)$	$=$
$\displaystyle 2000-300$	$=$	$\displaystyle 1700$

$\displaystyle 2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]$	$=$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle 2005-\left(406-87\right)$	$=$
$\displaystyle 2005-319$	$=$	$\displaystyle 1686$

$\displaystyle 65432-\left[\left(2264-675\right)-\left(123+432+1\right)\right]-10$	$=$	$\displaystyle 65432-\left[1589-556\right]-10$
	↓	Subtrahiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 65432-1033-10$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\displaystyle 64389$

$\displaystyle (153+12)−[53−(18+33)]$	$=$
	↓	In den inneren Klammern addieren.
	$=$	$\displaystyle 165−(53−51)$
	↓	Die Klammer subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 165−2$
	↓	Subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 163$

$\displaystyle \left(3214+9867\right)-\left(7012-5876\right)$	$=$	$\displaystyle 13081-1136$
	$=$	$\displaystyle 11945$

$\displaystyle 1111-222$	$=$	$\displaystyle 889$
	↓	Beide Werte voneinander subtrahieren
$\displaystyle 1001-889$	$=$	$\displaystyle 112$

$\displaystyle 1078-723$	$=$	$\displaystyle 355$
	↓	Beide Werte addieren
$\displaystyle 846+355$	$=$	$\displaystyle 1201$

$\displaystyle 5763+\left[\left(1342-43\right)-\left(234+32+1\right)-10\right]$	$=$	$\displaystyle 5763+\left[1299-267-10\right]$
	↓	Subtrahiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 5763+1022$
	$=$	$\displaystyle 6785$

$\displaystyle 13513-\left[\left(555-132\right)-\left(400+1962+4\right)+15\right]$	$=$	$\displaystyle 13513-\left[423-2366+15\right]$
	↓	Subtrahiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 13513+1928$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle 15441$

$\displaystyle 9876-\left[876-\left(76-6\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 9876-\left[876-70\right]$
	↓	Innerste Klammer berechnen.
	$=$	$\displaystyle 9876-806$
	$=$	$\displaystyle 9070$

$\displaystyle 3+7\cdot\left(26-16-12:2\right)$	$=$
	↓	Berechne erst $12:2$ , da Punkt vor Strich gilt.
	$=$	$\displaystyle 3+7\cdot\left(26-16-6\right)$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\displaystyle 3+7\cdot4$
	↓	Multipliziere zuerst.
	$=$	$\displaystyle 3+28$
	↓	Addiere dann.
	$=$	$\displaystyle 31$

$\displaystyle 432\cdot588-588\cdot32$	$=$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 588\cdot\left(432-32\right)$
	↓	Subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 588\cdot400$
	↓	Multiplikation.
	$=$	$\displaystyle 235.200$

$\displaystyle \left(162+25\right)\cdot4-4\cdot162$	$=$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 25\cdot4+162\cdot4-4\cdot162$
	↓	Subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 25\cdot4$
	$=$	$\displaystyle 100$

$\displaystyle \left[12.625-\left(2.977+8.133\right)\right]:5$	$=$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle \left[12.625-11.110\right]:5$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\displaystyle 1515:5$
	$=$	$\displaystyle 303$

$\displaystyle 17.000:125$	$=$
	↓	17.000 zerlegen in 17 mal 1000.
	$=$	$\displaystyle 17\cdot1000:125$
	↓	Dividiere.
	$=$	$\displaystyle 17\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 136$

$\displaystyle \left(168\cdot87+13+87\cdot832\right)\cdot1$	$=$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 168\cdot87+13+87\cdot832$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle \left(168+832\right)\cdot87+13$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle 1000\cdot87+13$
	$=$	$\displaystyle 87000+13$
	$=$	$\displaystyle 87013$

$\displaystyle 1234-987+766-113$	$=$
	↓	Wende das Kommutativgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 1234+766-987-113$
	↓	Setze eine Klammer.
	$=$	$\displaystyle 1234+766-\left(987+113\right)$
	↓	Addiere die beiden einzelnen Summen.
	$=$	$\displaystyle 2000-1100$
	$=$	$\displaystyle 900$

$\displaystyle 123+\left(321\cdot213-132\right)$	$=$
	↓	In der Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle =123+\left(68373-132\right)$	$=$
	↓	Klammer ausrechnen.
$\displaystyle =123+68241$	$=$	$\displaystyle 68364$
	↓	Addition

	$\displaystyle 100:4+44:4$
$=$	$\displaystyle 25+11$
$=$	$\displaystyle 36$

	$=$	$\displaystyle 1440:18-1440:8$
	$=$	$\displaystyle 80-180$
	$=$	$\displaystyle -100$

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