Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$ , ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ )

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Wertemenge von $f_{1}$ an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 3; 6]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 3 \leq x \leq 8$ ; $- 3 \leq y \leq 10$

Gegeben ist: $y = 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$
Es ist $\lim_{x \to - \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{0,2 \cdot 2^{x - 1}}} - 2 = - 2$ .
$\Rightarrow$ Wertemenge von $f_{1} : {y | y > - 2}$ 
Graph von $f_{1}$
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = 2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt: $y = 0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3$ , ( $𝔾 = ℝ$ x $ℝ$ ).
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 3; 6]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Affinität
Für die orthogonale Affinität gilt in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Es ist $k = 2$ und $y = 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$ .
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
↓
Setze $k = 2$ und $y = 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$ ein.
$=$ $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2 \end{array})$
↓
Führe die Matrixmultiplikation durch.
$=$ $(\begin{array}{c} x \\ 2 \cdot (0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2) \end{array})$
Es ist $y^{''} = 0,4 \cdot 2^{x^{'} - 1} + 3$ .
Dann folgt mit $x^{''} = x^{'} + 1 \Rightarrow x^{'} = x^{''} - 1$ :
Es ist dann $y^{''} = 0,4 \cdot 2^{(x^{''} - 1 - 1)} + 3 = 0,4 \cdot 2^{x^{''} - 2} + 3$
Die $^{''}$ können nun weggelassen werden.
Für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt dann: $y = 0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3$ , ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ).
Einzeichnen des Graphens von $f_{2}$
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Punkte $A_{n} (x | 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2)$ liegen auf dem Graphen zu $f_{1}$ . Punkte $B_{n} (x + 3 | - 1)$ haben eine um $3$ größere x-Koordinate als die Punkte $A_{n}$ . Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Graphen der Funktion $f_{2}$ und ihre x-Koordinate ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ . Die Punkte $A_{n}$ , $B_{n}$ und $C_{n}$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke konstruieren
Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$
Es ist $A_{n} (x | 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2)$ , $B_{n} (x + 3 | - 1)$ . Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Graphen der Funktion $f_{2}$ und ihre x-Koordinate ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
$\Rightarrow C_{n} (x + 1 | 0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3)$
Berechne die y-Koordinate von $A_{1}$ :
$y$ $=$ $0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$
↓
Setze $x = - 1$ ein.
$=$ $0,2 \cdot 2^{(- 1 - 1)} - 2$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $0,2 \cdot 2^{- 2} - 2$
↓
Wende ein Potenzgesetz an.
$=$ $\frac{0,2}{2^{2}} - 2$
↓
Berechne den Bruch.
$=$ $0,05 - 2$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $- 1,95$
Also ist $A_{1} (- 1 | - 1,95) .$
$B_{1} (- 1 + 3 | - 1) \Rightarrow B_{1} (2 | - 1)$ .
Berechne die y-Koordinate von $C_{1}$ :
Die x-Koordinate der Punkte $C_{n}$ ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Mit $x = - 1$ ist die x-Koordinate der Punkte $C_{n}$ gleich $x = - 1 + 1 = 0$ .
$y$ $=$ $0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3$
↓
Setze $x = 0$ ein.
$=$ $0,4 \cdot 2^{(0 - 2)} + 3$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $0,4 \cdot 2^{- 2} + 3$
↓
Wende ein Potenzgesetz an.
$=$ $\frac{0,4}{2^{2}} + 3$
↓
Berechne den Bruch.
$=$ $0,1 + 3$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $3,1$
Also ist $C_{1} (0 | 3,1) .$
Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$
Es ist $x = 4$ . Berechne die y-Koordinate von $A_{2}$ :
$y$ $=$ $0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$
↓
Setze $x = 4$ ein.
$=$ $0,2 \cdot 2^{(4 - 1)} - 2$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $0,2 \cdot 2^{3} - 2$
↓
Berechne die Potenz.
$=$ $0,2 \cdot 8 - 2$
↓
Vereinfache.
$=$ $1,6 - 2$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $- 0,4$
Also ist $A_{2} (4 | - 0,4)$ .
$B_{2} (4 + 3 | - 1) \Rightarrow B_{2} (7 | - 1)$ .
Berechne die y-Koordinate von $C_{2}$ :
Die x-Koordinate der Punkte $C_{n}$ ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Mit $x = 4$ ist die x-Koordinate der Punkte $C_{n}$ gleich $x = 4 + 1 = 5$ .
Es ist $x = 5$ . Berechne die y-Koordinate von $A_{2}$ :
$y$ $=$ $0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3$
↓
Setze $x = 5$ ein.
$=$ $0,4 \cdot 2^{(5 - 2)} + 3$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $0,4 \cdot 2^{3} + 3$
↓
Berechne die Potenz.
$=$ $0,4 \cdot 8 + 3$
↓
Vereinfache.
$=$ $3,2 + 3$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $6,2$
Also ist $C_{2} (5 | 6,2)$ .
Die Punkte $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ und $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ werden in das Koordinatensystem eingezeichnet. Verbindet man die entsprechenden Punkte, erhält man die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ .
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Zeigen Sie, dass für die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\vec{A_{n} B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 1 \end{array})$ ; $\vec{A_{n} C_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5 \end{array})$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Es ist ${\vec{A}}_{n} = (\begin{array}{c} x \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2 \end{array})$ und ${\vec{B}}_{n} = (\begin{array}{c} x + 3 \\ - 1 \end{array})$ .
$\Rightarrow \vec{A_{n} B_{n}} (x) = {\vec{B}}_{n} - {\vec{A}}_{n} = (\begin{array}{c} x + 3 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2 \end{array})$
$\vec{A_{n} B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x + 3 - x \\ - 1 - (0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 1 \end{array})$
Es ist ${\vec{A}}_{n} = (\begin{array}{c} x \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2 \end{array})$ und ${\vec{C}}_{n} = (\begin{array}{c} x + 1 \\ 0,4 \cdot 2^{x + 1 - 2} + 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} x + 1 \\ 0,4 \cdot 2^{x - 1} + 3 \end{array})$ .
$\vec{A_{n} C_{n}} (x)$ $=$ $(\begin{array}{c} x + 1 - x \\ 0,4 \cdot 2^{x - 1} + 3 - (0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2) \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 0,4 \cdot 2^{x - 1} + 3 - 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 2 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5 \end{array})$
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Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ stets größer als 7 FE ist. (3 P)

Im Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ liegt die Strecke $[A_{3} B_{3}]$ parallel zur x-Achse. Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ sowie das Maß des Winkels $B_{3} A_{3} C_{3}$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$
Wenn die Strecke $[A_{3} B_{3}]$ parallel zur x-Achse sein soll, dann muss $y_{A_{3}} = y_{B_{3}}$ sein. Dabei ist $y_{A_{3}} = 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$ und $y_{B_{3}} = - 1$ .
$y_{A_{3}}$ $=$ $y_{B_{3}}$
↓
Setze die Werte ein.
$0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$ $=$ $- 1$ $+ 2$
↓
Löse nach $x$ auf.
$0,2 \cdot 2^{x - 1}$ $=$ $1$ $: 0,2$
$2^{x - 1}$ $=$ $\frac{1}{0,2}$ $\log_{2}$
↓
Wende den Logarithmus zur Basis 2 an.
$x - 1$ $=$ $\log_{2} (\frac{1}{0,2})$ $+ 1$
$x$ $=$ $\log_{2} (\frac{1}{0,2}) + 1$
$=$ $3,32$
$𝕃 = {3,32}$
Die $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ ist $x = 3,32$ .
Das Maß des Winkels $B_{3} A_{3} C_{3}$
Aus Aufgabe d) (B 1.4) gilt für den Vektor $\vec{A_{n} C_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5 \end{array})$ .
Hier wird nun $x = 3,32$ eingesetzt:
$\vec{A_{3} C_{3}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5 \end{array})$
↓
Setze $x = 3,32$ ein.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{3,32 - 1} + 5 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{2,32} + 5 \end{array})$
↓
Berechne die $y$ -Koodinate.
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 6,00 \end{array})$
Der gesuchte Winkel ist der Winkel zwischen der Strecke $[A_{3} C_{3}]$ und der $x$ -Achse.
Steigungswinkel: $m = \tan (α) = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{C_{3}} - y_{A_{3}}}{x_{C_{3}} - x_{A_{3}}}$
Es ist $\vec{A} (x) = (\begin{array}{c} x \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2 \end{array})$ . Mit $x = 3,32$ folgt dann ${\vec{A}}_{3} = (\begin{array}{c} 3,32 \\ - 1 \end{array})$ .
Weiterhin ist $\vec{C} (x) = (\begin{array}{c} x + 1 \\ 0,4 \cdot 2^{x - 1} + 3 \end{array})$ . Mit $x = 3,32$ folgt dann ${\vec{C}}_{3} = (\begin{array}{c} 4,32 \\ 5 \end{array})$ .
$\tan (α)$ $=$ $\frac{y_{C_{3}} - y_{A_{3}}}{x_{C_{3}} - x_{A_{3}}}$
↓
Setze die entsprechenden Koordinaten ein.
$=$ $\frac{5 - (- 1)}{4,32 - 3,32}$
$=$ $\frac{6}{1}$
$∢ B_{3} A_{3} C_{3} = α = \tan^{- 1} (6) = {80,54}^{\circ}$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$A (x)$	$=$	$0,5 \cdot (3 \cdot (0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5) - 1 \cdot (- 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 1))$
	↓	Löse die inneren Klammern auf.
	$=$	$0,5 \cdot (0,6 \cdot 2^{x - 1} + 15 + 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 1)$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
	$=$	$0,5 \cdot (0,8 \cdot 2^{x - 1} + 14)$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$0,4 \cdot 2^{x - 1} + 7$

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
	↓	Setze $k = 2$ und $y = 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2 \end{array})$
	↓	Führe die Matrixmultiplikation durch.
	$=$	$(\begin{array}{c} x \\ 2 \cdot (0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2) \end{array})$

$y$	$=$	$0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$
	↓	Setze $x = - 1$ ein.
	$=$	$0,2 \cdot 2^{(- 1 - 1)} - 2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0,2 \cdot 2^{- 2} - 2$
	↓	Wende ein Potenzgesetz an.
	$=$	$\frac{0,2}{2^{2}} - 2$
	↓	Berechne den Bruch.
	$=$	$0,05 - 2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- 1,95$

$y$	$=$	$0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3$
	↓	Setze $x = 0$ ein.
	$=$	$0,4 \cdot 2^{(0 - 2)} + 3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0,4 \cdot 2^{- 2} + 3$
	↓	Wende ein Potenzgesetz an.
	$=$	$\frac{0,4}{2^{2}} + 3$
	↓	Berechne den Bruch.
	$=$	$0,1 + 3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$3,1$

$y$	$=$	$0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$
	↓	Setze $x = 4$ ein.
	$=$	$0,2 \cdot 2^{(4 - 1)} - 2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0,2 \cdot 2^{3} - 2$
	↓	Berechne die Potenz.
	$=$	$0,2 \cdot 8 - 2$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1,6 - 2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- 0,4$

$y$	$=$	$0,4 \cdot 2^{x - 2} + 3$
	↓	Setze $x = 5$ ein.
	$=$	$0,4 \cdot 2^{(5 - 2)} + 3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0,4 \cdot 2^{3} + 3$
	↓	Berechne die Potenz.
	$=$	$0,4 \cdot 8 + 3$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$3,2 + 3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$6,2$

$\vec{A_{n} C_{n}} (x)$	$=$	$(\begin{array}{c} x + 1 - x \\ 0,4 \cdot 2^{x - 1} + 3 - (0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2) \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0,4 \cdot 2^{x - 1} + 3 - 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 2 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5 \end{array})$

$y_{A_{3}}$	$=$	$y_{B_{3}}$
	↓	Setze die Werte ein.
$0,2 \cdot 2^{x - 1} - 2$	$=$	$- 1$	$+ 2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$0,2 \cdot 2^{x - 1}$	$=$	$1$	$: 0,2$
$2^{x - 1}$	$=$	$\frac{1}{0,2}$	$\log_{2}$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis 2 an.
$x - 1$	$=$	$\log_{2} (\frac{1}{0,2})$	$+ 1$
$x$	$=$	$\log_{2} (\frac{1}{0,2}) + 1$
	$=$	$3,32$

$\vec{A_{3} C_{3}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{x - 1} + 5 \end{array})$
	↓	Setze $x = 3,32$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{3,32 - 1} + 5 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0,2 \cdot 2^{2,32} + 5 \end{array})$
	↓	Berechne die $y$ -Koodinate.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 6,00 \end{array})$

$\tan (α)$	$=$	$\frac{y_{C_{3}} - y_{A_{3}}}{x_{C_{3}} - x_{A_{3}}}$
	↓	Setze die entsprechenden Koordinaten ein.
	$=$	$\frac{5 - (- 1)}{4,32 - 3,32}$
	$=$	$\frac{6}{1}$

Aufgabe B1

Graph von f1

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Einzeichnen des Graphens von f2

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Dreieck A1B1C1

Dreieck A2B2C2

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Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes A3

Das Maß des Winkels B3A3C3

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Graph von $f_{1}$

Einzeichnen des Graphens von $f_{2}$

Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$

Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$

Das Maß des Winkels $B_{3} A_{3} C_{3}$