Damit $F(x)F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)f(x)$ ist, muss gelten $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)\; =f(x)$.

Bilde die Ableitung von $F(x)=(ax+b)\cdot e^{2x}F(x)=(ax+b)\backslash cdot\; e^\{2x\}$, beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=a\cdot e^{2x}+(ax+b)\cdot e^{2x}\cdot 2=(2ax+2b+a)\cdot e^{2x}F\text{'}(x)=a\backslash cdot\; e^\{2x\}+(ax+b)\backslash cdot\; e^\{2x\}\backslash cdot\; 2=(2ax+2b+a)\backslash cdot\; e^\{2x\}$

Der Koeffizientenvergleich von $f(x)f(x)$ und $F^{\mathrm{\prime }}(x)F\text{'}(x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\mathrm{I}4=2a\Rightarrow a=2\backslash mathrm\{I\}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;4=2a\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=2$

$\mathrm{I}\mathrm{I}-2=2b+a\backslash mathrm\{II\}-2=2b+a$

Setze $a=2a=2$ in Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ein$\Rightarrow -2=2b+2\Rightarrow b=-2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-2=2b+2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=-2$

Mit $a=2a=2$ und $b=-2b=-2$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu:

Damit $F(x)F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)f(x)$ ist, muss gelten $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)\; =f(x)$.

Bilde die Ableitung von $F(x)=(a{x}^2+bx+c)\cdot e^{-2x}F(x)=(ax^2+bx+c)\backslash cdot\; e^\{-2x\}$, beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=(2ax+b)\cdot e^{2x}+(a{x}^2+bx+c)\cdot e^{-2x}\cdot (-2)F\text{'}(x)=(2a\; x+b)\backslash cdot\; e^\{2x\}+(a\; x^2+bx+c)\backslash cdot\; e^\{-2x\}\backslash cdot(-2)$

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=(2ax+b+(-2)\cdot (a{x}^2+bx+c))\cdot e^{-2x}F\text{'}(x)=(2a\; x+b+(-2)\backslash cdot(a\; x^2+bx+c))\backslash cdot\; e^\{-2x\}$

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=(-2a{x}^2-2bx-2c+2ax+b)\cdot e^{-2x}F\text{'}(x)=(-2a\; x^2-2bx-2c+2ax+b)\backslash cdot\; e^\{-2x\}$

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=(-2a{x}^2+(2a-2b)x+b-2c)\cdot e^{-2x}F\text{'}(x)=(-2a\; x^2+(2a-2b)\; x+b-2c)\backslash cdot\; e^\{-2x\}$

Beachte bei der Funktion $f(x)f(x)$ den Einschub des Terms $0\cdot x0\backslash cdot\; x$.

Der Koeffizientenvergleich von $f(x)f(x)$ und $F^{\mathrm{\prime }}(x)F\text{'}(x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\mathrm{I}2=-2a\Rightarrow a=-1\backslash mathrm\{I\}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;2=-2a\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=-1$

$\mathrm{I}\mathrm{I}0=2a-2b\Rightarrow a=b\backslash mathrm\{II\}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;0=2a-2b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=b$

$\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-1=b-2c\backslash mathrm\{III\}-1=b-2c$

Setze $a=-1a=-1$ in $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ein $\Rightarrow b=-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=-1$

Setze $b=-1b=-1$ in $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{III\}$ ein $\Rightarrow -1=-1-2c\Rightarrow c=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-1=-1-2c\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;c=0$

Mit $a=-1a=-1$, $b=-1b=-1$ und $c=0c=0$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu: