Damit $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, muss gelten $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Bilde die Ableitung von $F(x)=(ax+b)\cdot e^{2x}$, beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.

$F^{\prime }(x)=a\cdot e^{2x}+(ax+b)\cdot e^{2x}\cdot 2=(2ax+2b+a)\cdot e^{2x}$

Der Koeffizientenvergleich von $f(x)$ und $F^{\prime }(x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\mathrm{I}4=2a\Rightarrow a=2$

$\mathrm{II}-2=2b+a$

Setze $a=2$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein$\Rightarrow -2=2b+2\Rightarrow b=-2$

Mit $a=2$ und $b=-2$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu:

Damit $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, muss gelten $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Bilde die Ableitung von $F(x)=(a{x}^2+bx+c)\cdot e^{-2x}$, beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.

$F^{\prime }(x)=(2ax+b)\cdot e^{2x}+(a{x}^2+bx+c)\cdot e^{-2x}\cdot (-2)$

$F^{\prime }(x)=(2ax+b+(-2)\cdot (a{x}^2+bx+c))\cdot e^{-2x}$

$F^{\prime }(x)=(-2a{x}^2-2bx-2c+2ax+b)\cdot e^{-2x}$

$F^{\prime }(x)=(-2a{x}^2+(2a-2b)x+b-2c)\cdot e^{-2x}$

Beachte bei der Funktion $f(x)$ den Einschub des Terms $0\cdot x$.

Der Koeffizientenvergleich von $f(x)$ und $F^{\prime }(x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\mathrm{I}2=-2a\Rightarrow a=-1$

$\mathrm{II}0=2a-2b\Rightarrow a=b$

$\mathrm{III}-1=b-2c$

Setze $a=-1$ in $\mathrm{II}$ ein $\Rightarrow b=-1$

Setze $b=-1$ in $\mathrm{III}$ ein $\Rightarrow -1=-1-2c\Rightarrow c=0$

Mit $a=-1$, $b=-1$ und $c=0$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu: