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Die Abbildung 11 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Innern begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken [AB] [AB], [BC] [BC] und [CD][CD] mit A(11110)A(11|11|0), B(111128)B(-11|11|28), C(111128)C(11|-11|28) und D(11110)D(-11|-11|0) besteht. (vgl. Abbildung 22). AA, BB, CC und DD sind die Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Saarpolygon
  1. Begründen Sie, dass die Punkte BB und CC symmetrisch bezüglich der x3x_3-Achse liegen. (2 P)

  2. Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 P)

    m
  3. Die Ebene EE enthält die Punkte AA, BB und CC, die Ebene FF die Punkte BB, CC und DD.

    Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform. (4 P)

    (zur Kontrolle: E:14x1+14x2+11x3=308E: 14x_1+14x_2+11x_3=308)

  4. Berechnen Sie die Größe φ\varphi des Winkels, unter dem EE die x1x2x_1x_2-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus φ\varphi die Größe des Winkels zwischen den Ebenen EE und FF berechnet werden kann. (5 P)

  5. Die Ebene EE teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. (3 P)


  6. Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 33 und 44 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

    Abbildungen 3 und 4 Saarpolygon

    Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 33 und 44 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 P)

  7. Der Punkt P(00h) P(0|0|h) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken [AB] [AB], [BC] [BC] und [CD][CD] den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von hh:

    I    Q=(11110)+t(22028),  \mathrm{I}\;\;\vec Q=\begin{pmatrix}11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-22 \\ 0 \\28\end{pmatrix}, \;t[0;1]t\in [0;1]

    II    PQAB=0 \mathrm{II}\;\;\overrightarrow{PQ}\circ \overrightarrow{AB}=0

    III    PQ=28h \mathrm{III}\;\;\overline{PQ}=28-h

    Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von hh zugrunde liegen. (4 P)