Es gewinnt im Teil A das schnellste Team, im Teil B das Team mit dem geringsten Bezinverbrauch.

A. Die traditionelle Rallye

Vorüberlegungen:

1. Die Geschwindigkeitsformeln:

2. Die Entfernung des Startpunktes $S$ von der Karawanenstraße beträgt $30\,\text{km}$. Dann ist $F$ der Lotfußpunkt mit $\overline{AF}=30\,\text{km}$.Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann:

3. Fährt das Rallyeteam von $A$ über $F$ nach $Z$, dann beträgt diese Fahrzeit:

4. Fährt das Rallyeteam vom Startpunkt $S$ geradlinig im Wüstensand zum Zielpunkt $Z$, dann beträgt die Fahrzeit:

Für das Rallyeteam bringt der Umweg über $F$ also keinen Gewinn. Es könnte aber einen Punkt $P(x)$ irgendwo auf der Strecke zwischen $F$ und $Z$ geben, so dass die Fahrzeit von $50\,\text{min}$ unterboten wird.

Die Zielfunktion $f(x)$

Gesamtfahrzeit $f(x)$ = Fahrzeit von $A$ nach $P$ + Fahrzeit von $P$ nach $Z$.

Berechne $\overline{SP(x)}$mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von $x$.

Setze $\overline{SP(x)}$ in $f(x)$ ein. (Gib $f(x)$ ohne Benennungen an).

Der Definitonsbereich für $f$ ist $[0;40]$.

Berechne $f'(x)$. Benutze dabei auch die Kettenregel.

Setze $f'(x)$ gleich Null.

Überprüfe mit $f''(x)$, ob ein lokales Minimum vorliegt. Berechne dazu zunächst $f''(x)$:

Setze dann $x_1$ ein.

$f''(x_1) = \dfrac{15}{(900+x_1^2)^{1{,}5}} >0$ $\qquad\Rightarrow$ $x_1$ liefert minimale Fahrzeit.

Berechne nun mit $f(x_1)$ die minimale Fahrzeit.

$f(x)$ misst die Fahrzeit in Stunden.

Ergebnis:

Das Team gewinnt die traditionelle Rallye, wenn es über den $22{,}5\,\text{km}$ von $F$ entfernten Punkt $P$ der Karawanenstraße zum Ziel fährt. Es braucht dafür $48\,\text{Minuten}$.

Die notwendige Ansteuerung des Zwischenpunktes $P$ wird das Team natürlich mit einer Navigationshilfe vornehmen.

Im nachfolgenden Applet kannst du die Gesamtfahrzeit $t$ in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt $P$ nachvollziehen.

Klicke auf den Punkt $P$ und verschiebe ihn im Intervall [0;40].

B. Die alternative Rallye

Die Zielfunktion $f(x)$

Gesamtverbrauch $f(x)$ = Verbrauch von $S$ nach $P$ + Verbrauch von $P$ nach $Z$.

$f(x)=\color{red}{0{,}2}\cdot\sqrt{900+x^2}+\color{green}{0{,}04}\cdot(40-x)$

Der Definitionsbereich für $f$ ist $[0;40]$.

Verzicht auf die Benennung der Größen im Funktionsterm. Bilde $f'(x)$.

$f'(x)=\displaystyle\frac{0{,}2x}{\sqrt{900+x^2}}-0{,}04$

Setze $f'(x)$ gleich Null und löse die Gleichung.

Überprüfe mit $f''(x)$, ob ein lokales Minimum vorliegt.

Setze $x_1$ ein.

$f(x_1)\gt0$ $\qquad \Rightarrow$ $x_1$ liefert minimalen Verbrauch.

Berechne mit $f(x_1)$ den minimalen Verbrauch.

$f(x)$ misst den Verbrauch in Liter.

Ergebnis:

Das Team gewinnt die alternative Rallye, wenn es über den $6{,}124\,\text{km}$ von $F$ entfernten Punkt $P$ der Karawanenstraße zum Zielpunkt fährt. Es verbraucht dabei rund $7{,}5\ \text{Liter}$ Benzin.

Im nachfolgenden Applet kannst du den Gesamtbenzinverbrauch $v$ in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt $P$ nachvollziehen.

Klicke auf den Punkt $P$ und verschiebe ihn im Intervall [0;40].

Interpretation der Ergebnisse

Geschwindigkeitsrallye

Verbrauchsrallye

Das Rallyeteam nützt bei der traditionellen Rallye (Fahrzeit $48\ Min$.; Verbrauch $8{,}7\ Liter$) die Karawanenstraße weit weniger als bei der alternativen (Fahrzeit rund 51 Min.; Verbrauch $7{,}5\ Liter$).

Dies hängt damit zusammen, dass der "Geschwindigkeitsvorteil" der Straße ($120\,\text{km/h}:60\,\text{km/h}$) weniger ausgeprägt ist, als der "Verbrauchsvorteil" ($20\,\text{Liter/100 km}:4\,\text{Liter/100 km}$).