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Aussehen von Geradenscharen

Eine Geradenschar ist eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Geraden besteht. Ihr Term ist der einer linearen Funktion mit Parameter.

Aussehen

Bei einer Geradenschar unterscheidet man drei mögliche Szenarien.

Parallelenschar

Alle Repräsentanten aus der Geradenschar sind zueinander parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt.

Bei einer Geradenschar ist dies der Fall, wenn alle Repräsentanten die gleiche Steigung haben.

Beispielka(x)=0,5x+0,75ak_a\left(x\right)=0{,}5x+0{,}75a
Parallelenschar

Parallelenschar

Alle Repräsentanten haben die gleiche Steigung m=0,5m=0{,}5, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte.

Geradenbüschel

Alle Repräsentanten schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird bestimmt, indem man den Schnittpunkt von zwei Repräsentanten bestimmt und diesen zur Probe in die Funktionsgleichung der Geradenschar einsetzt:

Beispiellu(x)=(u2)x+2ul_u\left(x\right)=\left(u-2\right)x+2u
Geradenbüschel

Geradenbüschel

Die Geradenschar lu(x)=(u2)x+2ul_u\left(x\right)=\left(u-2\right)x+2u hat einen Büschelpunkt.

Zur rechnerischen Ermittlung berechnest du den Schnittpunkt der beiden Repräsentanten l2l_2 und l3l_3:

Setze die beiden Funktionen gleich

l2(x)\displaystyle l_2\left(x\right)==l3(x)\displaystyle l_3\left(x\right)
4\displaystyle 4==x+6\displaystyle x+66\displaystyle -6
2\displaystyle -2==x\displaystyle x

Anschließend setzt du den x-Wert in die Geradenschar ein. Fällt dabei der Parameter weg, hast du den Büschelpunkt erfolgreich bestimmt:

lu(2)\displaystyle l_u\left(-2\right)==(u2)(2)+2u\displaystyle \left(u-2\right)\cdot\left(-2\right)+2u
==2u+4+2u\displaystyle -2u+4+2u
==4\displaystyle 4

Büschelpunkt: B(24)B\left(-2|4\right)

allgemeine Geradenschar

Geradenscharen müssen nicht Parallelenscharen oder Geradenbüschel sein. Wenn sich je zwei Repräsentanten schneiden, aber nicht alle Repräsentanten im gleichen Punkt, handelt es sich um eine allgemeine Geradenschar.


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