Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Die Gerade $g_{1}$ ist durch die Funktionsgleichung $y = - x + 3,5$ bestimmt. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{1}$ mit der x-Achse und geben Sie $N$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{1}$ mit der
x-Achse.
Setze $g_{1} = 0$ und berechne $x$ .
$- x + 3,5$ $=$ $0$ $- 3,5$
↓
subtrahiere
$- x$ $=$ $- 3,5$ $\cdot (- 1)$
↓
multipliziere
$x$ $=$ $3,5$
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_{1}$ mit der $x -$ Achse sind dann:
$N (3,5 | 0)$
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Die folgenden Wertepaare sind Punkte der Geraden $g_{2}$ :
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $g_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Setze $2$ Wertepaare aus der Tabelle in die Geradengleichung ein.
$(W p)_{1} = 2 m + t = 3,5 \Rightarrow t = 3,5 - 2 m$ eingesetzt in $(W p)_{2}$
$(W p)_{2} = 4 m + t = 6,5$
$(W p)_{1} i n (W p)_{2} : 4 m + (3,5 - 2 m)$ $=$ $6,5$
↓
fasse zusammen
$2 m + 3,5$ $=$ $6,5$ $- 3,5$
↓
subtrahiere
$2 m$ $=$ $3$ $: 2$
↓
dividiere
$m$ $=$ $1,5$
Setze $m$ in $(W p)_{1}$ ein und berechne $t$ .
$t = 3,5 - 2 \cdot 1,5 \Rightarrow t = 0,5$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ lautet:
$g_{2} : y = 1,5 x + 0,5$
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Die Gerade $g_{3} : y = - 0,2 x - 1,5$ schneidet die Gerade $g_{1}$ im Punkt $T$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ und geben Sie diesen an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechnung des Schnittpunktes $T$ .
Setze $g_{1} = g_{3}$
$- x + 3,5$ $=$ $- 0,2 x - 1,5$ $+ (0,2 x - 3,5)$
↓
addiere
$- 0,8 x$ $=$ $- 5$ $: - 0,8$
↓
dividiere
$x$ $=$ $6,25$
Setze $x = 6,25$ in $g_{1}$ oder $g_{3}$ ein und berechne $y .$
$x$ eingesetzt in $g_{1}$ ergibt:
$- 1 \cdot 6,25 + 3,5 = y \Rightarrow y = - 2,75$
Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:
$T (6,25 | - 2,75)$
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Die Gerade $g_{1}$ wird zuerst an der x-Achse und dann an der y-Achse gespiegelt. Dadurch entsteht die Gerade $g_{4}$ . Geben Sie die Funktionsgleichung von $g_{4}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
$g_{1} : y = - x + 3,5$
Spiegel $g_{1}$ an der $y$ -Achse, ersetze $x$ durch $(- x) \Rightarrow g_{1_{s y}}$
$g_{1_{s y}} : y = - (- x) + 3,5$
$g_{1_{s y}} : y = x + 3,5$
Spiegel $g_{1_{s y}}$ an der $x$ -Achse, multipliziere die Funktionsgleichung
von $g_{1_{s y}}$ mit $(- 1) \Rightarrow g_{4}$ .
$g_{4} : y = - 1 \cdot (x + 3,5)$
$g_{4} : y = - x - 3,5$
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Die Gerade $g_{5}$ hat die Funktionsgleichung $y = \frac{1}{3} x + 4$ . Die Gerade $g_{6}$ steht senkrecht auf $g_{5}$ und verläuft durch den Punkt $P (- 1 | 5)$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{6}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
$g_{5} : y = \frac{1}{3} x + 4 \Rightarrow m_{5} = \frac{1}{3}$
da die Gerade $g_{6}$ senkrecht auf der Geraden $g_{5}$ steht, gilt: $\begin{array}{l} m_{5} \cdot m_{6} = - 1 \Rightarrow m_{6} = \frac{- 1}{m_{5}} \Rightarrow m_{6} = - 3 \end{array}$
Stelle die Geradengleichung der Geraden $g_{6}$ auf.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$y = m x + t$
Setze $m_{6}$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung ein.
$5 = (- 3) \cdot (- 1) + t_{6} \Rightarrow t_{6} = 2$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{6}$ lautet:
$g_{6} : y = - 3 x + 2$
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Zeichnen Sie die Geraden $g_{1}$ , $g_{5}$ und $g_{6}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die Skizze ist nicht massgetreu.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$- x + 3,5$	$=$	$0$	$- 3,5$
	↓	subtrahiere
$- x$	$=$	$- 3,5$	$\cdot (- 1)$
	↓	multipliziere
$x$	$=$	$3,5$

$(W p)_{1} i n (W p)_{2} : 4 m + (3,5 - 2 m)$	$=$	$6,5$
	↓	fasse zusammen
$2 m + 3,5$	$=$	$6,5$	$- 3,5$
	↓	subtrahiere
$2 m$	$=$	$3$	$: 2$
	↓	dividiere
$m$	$=$	$1,5$

$- x + 3,5$	$=$	$- 0,2 x - 1,5$	$+ (0,2 x - 3,5)$
	↓	addiere
$- 0,8 x$	$=$	$- 5$	$: - 0,8$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$6,25$

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