Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Die Gerade $g_{1}$ ist durch die Funktionsgleichung $y = - x + 3,5$ bestimmt. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{1}$ mit der x-Achse und geben Sie $N$ an.

Die folgenden Wertepaare sind Punkte der Geraden $g_{2}$ :

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $g_{2}$ .

Die Gerade $g_3:y=−0{,}2x−1{,}5$ schneidet die Gerade $g_{1}$ im Punkt $T$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ und geben Sie diesen an.

Die Gerade $g_{1}$ wird zuerst an der x-Achse und dann an der y-Achse gespiegelt. Dadurch entsteht die Gerade $g_{4}$ . Geben Sie die Funktionsgleichung von $g_{4}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
$\hspace{24mm}g_1:y=-x+3{,}5$
Spiegel $g_{1}$ an der $y$ -Achse, ersetze $x$ durch $\ (-x)\ \quad\Rightarrow\quad g_{1_{\small{sy}}}$
$\hspace{24mm} g_{1_{\small{sy}}}:y=-(-x)+3{,}5$
$\hspace{24mm} g_{1_{\small{sy}}}:y=x+3{,}5$
Spiegel $\ g_{1_{\small{sy}}}\$ an der $x$ -Achse, multipliziere die Funktionsgleichung
von $\ g_{1_{\small{sy}}}\$ mit $\ (-1)\ \Rightarrow\ g_4$ .
$\hspace{24mm} g_{4}:y=-1\cdot(x+3{,}5)$
$\hspace{24mm} g_{4}:\boxed{y=-x-3{,}5}$
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Die Gerade $g_{5}$ hat die Funktionsgleichung $y=\dfrac{1}{3}x+4$ . Die Gerade $g_{6}$ steht senkrecht auf $g_{5}$ und verläuft durch den Punkt $P (- 1 ∣ 5)$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{6}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
$g_{5}:y=\dfrac{1}{3}x+4\quad\Rightarrow\quad m_{5}\ =\ \dfrac{1}{3}$
da die Gerade $g_{6}$ senkrecht auf der Geraden $g_{5}$ steht, gilt: $\\m_{5}\cdot\ m_{6}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{6}\ =\dfrac{-1}{m_{5}}\quad\Rightarrow\quad\ m_{6}\ =\ -3$
Stelle die Geradengleichung der Geraden $g_{6}$ auf.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$
Setze $m_{6}$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung ein.
$\ 5\ =\ (-3)\cdot (-1)\ +\ t_6\quad\Rightarrow\quad t_6\ =\ 2$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{6}$ lautet:
$\ g_{6}:y\ =\ -3x\ +\ 2$
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Zeichnen Sie die Geraden $g_{1}$ , $g_{5}$ und $g_{6}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die Skizze ist nicht massgetreu.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\displaystyle -x+3{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3{,}5$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -3{,}5$	$\displaystyle \cdot(-1)$
	↓	multipliziere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$

$\displaystyle \text({Wp})_1\ in\ \text({Wp})_2:\ 4m\ +(3{,}5-2m)$	$=$	$\displaystyle 6{,}5$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 2m+3{,}5$	$=$	$\displaystyle 6{,}5$	$\displaystyle -3{,}5$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 2m$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
	↓	dividiere
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle -x+3{,}5$	$=$	$\displaystyle −0{,}2x−1{,}5$	$\displaystyle +(0{,}2x-3{,}5)$
	↓	addiere
$\displaystyle -0{,}8x$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle :-0{,}8$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6{,}25$

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