Aufgaben zum Zeichnen und Vergleichen von Graphen

Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen zum Zeichnen und Vergleichen von Graphen!

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne den Graphen der folgenden quadratischen Funktion. Lege dazu eine Wertetabelle an.
1. $f (x) = x^{2} + 4 x - 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = x^{2} + 4 x - 5$
  Wertetabelle
  $x$
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  $f (x)$
  7
  0
  -5
  -8
  -9
  -8
  -5
  0
  7
  16
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2. $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$
  Wertetabelle
  $x$
  -4
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  $f (x)$
  13
  8
  5
  4
  5
  8
  13
  20
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3. $f (x) = - x^{2} + x + 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = - x^{2} + x + 6$
  Wertetabelle
  $x$
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  $f (x)$
  -6
  0
  4
  6
  6
  4
  0
  -6
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4. $f (x) = x^{2} - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = x^{2} - x$
  Wertetabelle
  $x$
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  $f (x)$
  12
  6
  2
  0
  0
  2
  6
  12
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5. $f (x) = x^{2} - \frac{1}{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = x^{2} - \frac{1}{9}$
  Wertetabelle
  $x$
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  $f (x)$
  8,9
  3,9
  0,9
  -0,1
  0,9
  3,9
  8,9
  15,9
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6. $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$
  
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$
  Wertetabelle
  $x$
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  $f (x)$
  9
  5,5
  3
  1,5
  1
  1,5
  3
  5,5
  9
  13,5
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7. $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$
  Wertetabelle
  $x$
  -4
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  $f (x)$
  -6,3
  -3,3
  -1
  0,7
  1,7
  2
  1,7
  0,7
  -1
  -3,3
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8. $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 11$
  
  $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 11$
  Wertetabelle
  $x$
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  $f (x)$
  -21
  -11
  -5
  -3
  -5
  -11
  -21
  -35
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9. $f (x) = 3 x^{2} - 3 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = 3 x^{2} - 3 x$
  Wertetabelle
  $x$
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  $f (x)$
  36
  18
  6
  0
  0
  6
  18
  36
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10. $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{11}{2} x + 10$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichnen einer Parabel
  $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{11}{2} x + 10$
  Wertetabelle
  $x$
  -24
  -20
  -16
  -12
  -8
  -4
  0
  4
  $f (x)$
  22
  0
  -14
  -20
  -18
  -8
  10
  36
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2
Die folgenden Abbildungen zeigen jeweils den Graphen einer Funktion der Form $f (x) = a \cdot x^{2}$ . Lies jeweils den Streckungsfaktor $a$ ab.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
  Finde allgemein eine zugehörige Funktionsgleichung, indem du einen Punkt des Graphen suchst, welcher sich gut ablesen lässt. Dessen $x$ - und $y$ -Koordinaten setzt du in die Funktion ein, um $a$ zu bestimmen.
  Lese einen geeigneten Punkt des Graphen ab.
  $A (1 | 2)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze dies in $f (x) = a \cdot x^{2}$ ein.
  $2 = f (1) = a \cdot 1^{2} = a$
  Hier kannst du $a = 2$ sofort ablesen und in $f$ einsetzen.
  $f (x) = 2 \cdot x^{2}$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
  Finde allgemein eine zugehörige Funktionsgleichung, indem du einen Punkt des Graphen suchst, welcher sich gut ablesen lässt. Dessen $x$ - und $y$ -Koordinaten setzt du in die Funktion ein, um $a$ zu bestimmen.
  Lese einen geeigneten Punkt des Graphen ab.
  $A (2 | - 1)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze dies in $f (x) = a \cdot x^{2}$ ein.
  $- 1 = f (2) = a \cdot 2^{2} = 4 \cdot a$
  Hier kannst du $a = - \frac{1}{4}$ sofort ablesen und in $f$ einsetzen.
  $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2}$
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
  Finde allgemein eine zugehörige Funktionsgleichung, indem du einen Punkt des Graphen suchst, welcher sich gut ablesen lässt. Dessen $x$ - und $y$ -Koordinaten setzt du in die Funktion ein, um $a$ zu bestimmen.
  Lese einen geeigneten Punkt des Graphen ab.
  $A (1 | 1,5)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze dies in $f (x) = a \cdot x^{2}$ ein.
  $1,5 = f (1) = a \cdot 1^{2} = a$
  Hier kannst du $a = 1,5$ sofort ablesen und in $f$ einsetzen.
  $f (x) = 1,5 \cdot x^{2}$
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
  Finde allgemein eine zugehörige Funktionsgleichung, indem du einen Punkt des Graphen suchst, welcher sich gut ablesen lässt. Dessen $x$ - und $y$ -Koordinaten setzt du in die Funktion ein, um $a$ zu bestimmen.
  Lese einen geeigneten Punkt des Graphen ab.
  $A (2 | - 20)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze dies in $f (x) = a \cdot x^{2}$ ein.
  $- 20 = f (2) = a \cdot 2^{2} = 4 a$
  Hier kannst du $a = - 5$ sofort ablesen und in $f$ einsetzen.
  $f (x) = - 5 \cdot x^{2}$
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3
Gib an, ob der Graph zu der gegebenen Gleichung nach oben oder unten geöffnet ist und ob er schmaler oder breiter ist als die Normalparabel.
1. $y = 0.1 \cdot x^{2}$
  Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  Die Parabel ist nach unten geöffnet.
  Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
  Die Parabel ist breiter als die Normalparabel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  
  $y = 0,1 \cdot x^{2}$
  Du kannst ablesen, dass die Parabel nach oben geöffnet ( $a = + 0,1 > 0$ ) und breiter als die Normalparabel ist $(0 < a < 1)$ .
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2. $y = (\frac{3}{2} - \frac{1}{4}) x^{2}$
  Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  Die Parabel ist nach unten geöffnet.
  Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
  Die Parabel ist breiter als die Normalparabel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  Die Funktionsvorschrift kann vereinfacht werden zu:
  $y = (\frac{3}{2} - \frac{1}{4}) x^{2} = \frac{5}{4} x^{2}$
  Du kannst ablesen, dass die Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel $(a > 1)$ ist.
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3. $- y = 3,5 x^{2}$
  Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  Die Parabel ist nach unten geöffnet.
  Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
  Die Parabel ist breiter als die Normalparabel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  
  Die Funktionsvorschrift $- y = 3,5 \cdot x^{2}$ kannst du zu $y = - 3,5 x^{2}$ umschreiben.
  Du kannst nun ablesen, dass die Parabel nach unten geöffnet ist (Minuszeichen) und schmaler als die Normalparabel ist $(| a | > 1)$ .
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4. $y + 0,2 x^{2} = 0$
  Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  Die Parabel ist nach unten geöffnet.
  Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
  Die Parabel ist breiter als die Normalparabel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  Die Funktionsvorschrift $y + 0,2 x^{2} = 0$ kannst du zu $y = - 0,2 x^{2}$ umschreiben.
  Du kannst nun ablesen, dass die Parabel nach unten geöffnet (Minuszeichen) und breiter als die Normalparabel $(| a | < 1)$ ist.
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4
Wähle anhand der nebenstehenden Parabel die zugehörige Funktionsgleichung zu dem Graphen aus.
$f (x) = \frac{1}{4} (x - 4)^{2} + 2$
$f (x) = \frac{1}{4} (x + 4)^{2} + 2$
$f (x) = 4 (x - 4)^{2} + 2$
$f (x) = \frac{1}{4} (x - 2)^{2} + 4$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
Es ist hilfreich, dir im Vergleich zur vorliegenden Parabel zusätzlich die verschobene Normalparabel einzuzeichnen. Dann erhälst du eine Skizze wie hier. Damit siehst du schnell, ob die Parabel gestreckt, oder gestaucht wurde.
Den Scheitelpunkt kannst du sofort ablesen, dieser ist $S (4 | 2)$ und damit ist die Funktion in der Gestalt $f (x) = a (x - 4)^{2} + 2$ . Daher bleiben nur noch 2 Auswahlmöglichkeiten. Einmal mit $a = 4$ und einmal mit $a = \frac{1}{4}$ . Hier macht nur letzteres Sinn, da die Parabel in y-Richung gestaucht wurde.
5
Wähle anhand der nebenstehenden Parabel die zugehörige Funktionsgleichung zu dem Graphen aus.
$f (x) = 4 (x + 6)^{2} - 6$
$f (x) = \frac{1}{4} (x + 6)^{2} - 6$
$f (x) = 4 (x - 6)^{2} - 6$
$f (x) = 4 (x - 6)^{2} + 6$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
Es ist hilfreich, dir im Vergleich zur vorliegenden Parabel zusätzlich die verschobene Normalparabel einzuzeichnen. Dann erhälst du eine Skizze wie hier. Damit erkennst du, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht wird.
Den Scheitelpunkt kannst du sofort ablesen, dieser ist $S (- 6 | - 6)$ und damit ist die Funktion in der Gestalt $f (x) = a (x + 6)^{2} - 6.$ Daher bleiben nur noch 2 Auswahlmöglichkeiten. Einmal mit $a = 4$ und einmal mit $a = \frac{1}{4} .$ Hier macht nur ersteres Sinn, da die Parabel in y-Richtung gestreckt wurde.
6
Wähle anhand der nebenstehenden Parabel die zugehörige Funktionsgleichung zu dem Graphen aus.
$f (x) = - \frac{1}{5} (x - 10)^{2} - 5$
$f (x) = - 5 (x - 10)^{2} - 5$
$f (x) = \frac{1}{5} (x - 10)^{2} - 5$
$f (x) = - \frac{1}{5} (x + 10)^{2} - 5$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
Es ist hilfreich, dir im Vergleich zur vorliegenden Parabel zusätzlich die verschobene Normalparabel einzuzeichnen. Dann erhälst du eine Skizze wie hier. Damit erkennst du, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht wird.
Den Scheitelpunkt kannst du sofort ablesen, dieser ist $S (10 | - 5)$ und damit ist die Funktion in der Gestalt $f (x) = a (x - 10)^{2} - 5.$ Daher bleiben nur noch 3 Auswahlmöglichkeiten. Diese sind $a = \frac{1}{5}$ , $a = - \frac{1}{5}$ und $a = - 5$ . Hier macht nur zweiteres Sinn, da die Parabel
zum einen nach unten geöffnet ist und daher der Parameter $a$ negativ ist
zum anderen in y-Richtung gestaucht wird und daher $| a | < 1$ ist
7
Schneiden sich jeweils die beiden Parabeln? Warum (nicht)? Löse die Aufgabe ohne zu Rechnen.
1. $f (x) = x^{2} und g (x) = 0,5 x^{2} - 1$
  Die Parabeln schneiden sich.
  Die Parabeln schneiden sich nicht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  Nein, da der Scheitel von g unter dem von f liegt und g zusätzlich in y-Richtung gestaucht ist und deshalb flacher verläuft als f.
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2. $f (x) = - 0,1 {(x - 2)}^{2} und g (x) = 0,2 {(x - 1)}^{2}$
  Die Parabeln schneiden sich.
  Die Parabeln schneiden sich nicht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  Nein, da beide Parabeln ihren Scheitelpunkt auf der $x$ -Achse haben ( $e = 0$ ), die eine aber nach oben und die andere nach unten geöffnet ist und die Scheitel nicht identisch sind.
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3. $f (x) = - x^{2} + 2 und g (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 1$
  Die Parabeln schneiden sich.
  Die Parabeln schneiden sich nicht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  Ja, da der Scheitel von $f$ über von dem Scheitel von $g$ liegt, die Parabel von $f$ nach unten geöffnet ist und die von $g$ aber nach oben geöffnet ist.
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