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Gegeben ist die reelle Funktion f:x14(x34x22x+8)f:x\mapsto-\frac 14(x^3-4x^2-2x+8) mit dem Definitionsbereich Df=RD_f=\mathbb R.

  1. Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f und deren Vielfachheit. Begründen Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen ]2;2[]-\sqrt2;\sqrt2[ sowie ]2;4[]\sqrt 2;4[ jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an. (7 BE)

  2. Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen GfG_f. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (5 BE)

  3. Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph GfG_f rechts- bzw. linksgekrümmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts. (4 BE)

  4. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f im Bereich 2x4,5-2\leq x\leq4{,}5 auch unter Verwendung der vorliegenden Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem (4 BE)

  5. Die Gerade GtG_t enthält die Schnittpunkte des Graphen GfG_f mit der y-Achse und mit der x-Achse bei x=4x=4. Zeigen Sie, dass die Gerade GtG_t Tangente an GfG_f ist und zeichnen Sie GtG_t in das vorhandene Koordinatensystem ein. (4 BE)

  6. Die Graphen GfG_f und GtG_t schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. (4 BE)

  7. Gegeben ist zusätzlich die Funktion p mit Dp=RD_p=\mathbb R und es gilt: f(x)p(x)=14(x35x2)f(x)-p(x)=-\frac 1 4(x^3-5x^2).

    Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen fpf-p mit deren Vielfachheit und erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Stellen für den Graphen der beiden Funktionen. (4 BE)