Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ \{0} definierte Funktion $g: x\mapsto \dfrac{1}{x^2}-1.$

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2} \ g(x) \mathrm{d}x.$ (3 P)

$\displaystyle \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2} \left(\dfrac{1}{x^2}-1 \right)\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[-\dfrac{1}{x}-x\right]_\frac{1}{2}^2$
	↓	Die Stammfunktion von $\dfrac{1}{x^2}$ ist $-\dfrac{1}{x}$ . In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $\left(\frac{1}{2}\right)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}-2\right)-\left(-\dfrac{1}{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}\right)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}-2+2+\dfrac{1}{2}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0$

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