Gleichung der Tangente

Gegeben ist $g(x)=\sqrt{x}+1.g(x)=\backslash sqrt\{x\}+1.$

Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt $(1\mathrm{\mid }g(1))(1|g(1))$.

Berechne $g(1)g(1)$:

$g(1)=\sqrt{1}+1=2\Rightarrow P(1\mathrm{\mid }2)g(1)=\backslash sqrt\{1\}+1=2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;P(1|2)$

Weiterhin wird die Steigung des Graphens im Punkt $PP$ benötigt.

Berechne die erste Ableitung:

Schreibe die Wurzel als Potenz:

$g(x)=\sqrt{x}+1=x^{\frac{1}{2}}+1g(x)=\backslash sqrt\{x\}+1=x^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}+1$

Wende die Ableitungsregeln für Potenzen an.

Die erste Ableitung von $g(x)g(x)$ ist $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\backslash cdot\; \backslash sqrt\{x\}\}$.

Der Graph von $gg$ hat im Punkt $P(1\mathrm{\mid }2)P(1|2)$ die Steigung $g^{\mathrm{\prime }}(1)g\text{'}(1)$.

Berechne $g^{\mathrm{\prime }}(1)g\text{'}(1)$:

$g^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}g\text{'}(1)=\backslash dfrac\{1\}\{2\backslash cdot\backslash sqrt\{1\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Nun kann in die Formel für die Tangente im Punkt $P(1\mathrm{\mid }2)P(1|2)$ eingesetzt werden:

Dabei ist $g^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{1}{2}g\text{'}(1)=\backslash frac\{1\}\{2\}$ und $g(1)=2.g(1)=2.$

Die Gleichung der Tangente im Punkt $(1\mathrm{\mid }2)(1|2)$ lautet:

Graphische Darstellung (ist nicht gefragt)

Umkehrfunktion

Die Funktionsgleichung $y=\sqrt{x}+1y=\backslash sqrt\{x\}+1$ wird nach $xx$ aufgelöst:

Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion $g^{-1}g^\{-1\}$ zu erhalten, müssen nun noch $xx$ und $yy$ vertauscht werden.