Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto 2 e^{- \frac{1}{8} x^{2}}$ . Abb. 1 zeigt den Graphen $G_{f}$ von $f$ , der die $x$ -Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{f}$ mit der y-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass $G_{f}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (2 P)
Der Punkt $W (- 2 | 2 e^{- \frac{1}{2}})$ ist einer der beiden Wendepunkte von $G_{f}$ . Die Tangente an $G_{f}$ im Punkt $W$ wird mit $w$ bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von $w$ und berechnen Sie die Stelle an der $w$ die x-Achse schneidet. (5 P)
(zur Kontrolle: $f^{'} (x) = - \frac{1}{2} x \cdot e^{- \frac{1}{8} x^{2}}$ )
Betrachtet wird für jeden Wert $c \in ℝ^{+}$ das Rechteck mit den Eckpunkten $P (- c | 0), Q (c | 0), R (c | f (c))$ und $S$ .
Zeichnen Sie für $c = 2$ das Rechteck $P Q R S$ in Abb. 1 ein. (1 P)
Berechnen Sie denjenigen Wert von $c$ , für den $Q R = 1$ gilt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert berechnen
Es soll $Q R = 1$ sein.
Gesucht ist also der Wert von $c$ , für den $f (c) = 1$ ist:
$f (c) = 2 e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ und $f (c) = 1$
$1$ $=$ $2 e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ $: 2$
↓
Löse nach $c$ auf.
$\frac{1}{2}$ $=$ $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ $\ln$
$\ln (\frac{1}{2})$ $=$ $- \frac{1}{8} c^{2}$ $\cdot (- 8)$
$- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})$ $=$ $c^{2}$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$\pm \sqrt{- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})}$ $=$ $c$
↓
Wegen $c \in ℝ^{+}$ entfällt die negative Wurzel.
$\sqrt{- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})}$ $=$ $c$
Für $c = \sqrt{- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})} \approx 2,35$ ist $Q R = 1$ .
Hinweis: je nach Rechenweg sind (z.B. wegen $\ln (\frac{1}{2}) = - \ln (2)$ auch andere Darstellungen von $c$ möglich:
$c = \sqrt{- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})} = \sqrt{- 8 \cdot (- \ln (2))} = \sqrt{8 \cdot \ln (2)} = 2 \sqrt{2 \cdot \ln (2)} = 2 \sqrt{\ln (4)}$ u.s.w.
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Geben Sie in Abhängigkeit von $c$ die Seitenlängen des Rechtecks $P Q R S$ an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term
$A (c) = 4 c \cdot e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ gegeben ist. (3 P)
Es gibt einen Wert von $c$ , für den der Flächeninhalt $A (c)$ des Rechtecks $P Q R S$ maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von $c$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Maximaler Flächeninhalt
Berechne $A^{'} (c)$ und setze $A^{'} (c) = 0$ , beachte die Kettenregel:
$A^{'} (c)$ $=$ $4 \cdot (1 \cdot e^{- \frac{1}{8} c^{2}} + c \cdot e^{- \frac{1}{8} c^{2}} \cdot (- \frac{1}{4} c))$
↓
Klammere $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ aus und fasse zusammen.
$=$ $4 e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (1 - \frac{1}{4} c^{2})$
↓
Multipliziere die $4$ in die Klammer.
$=$ $e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (4 - c^{2})$
Es ist $A^{'} (c) = e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (4 - c^{2})$ . Setze nun $A^{'} (c) = 0$ .
$0$ $=$ $e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (4 - c^{2})$ $: e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$
↓
Da $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ für alle $c$ größer null ist, darf durch $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ geteilt werden.
$0$ $=$ $4 - c^{2}$ $- c^{2}$
$c^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$c$ $=$ $\pm 2$
↓
Wegen $c \in ℝ^{+}$ entfällt die negative Lösung
$c$ $=$ $2$
Es bleibt zu prüfen, ob ein Maximum vorliegt.
Hier kann entweder berechnet werden, ob $A^{''} (2) < 0$ ist oder ob es an der Stelle $c = 2$ einen Vorzeichenwechsel von $A^{'} (c)$ gibt.
Hier wird der zweite Weg beschritten.
$A^{'} (1) = e^{- \frac{1}{8} 1^{2}} (4 - 1^{2}) = e^{- \frac{1}{8}} \cdot 3 > 0$
$A^{'} (3) = e^{- \frac{1}{8} 3^{2}} (4 - 3^{2}) = e^{- \frac{9}{8}} \cdot (- 5) < 0$
Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von $A^{'} (c)$ an der Stelle $c = 2$ von $+ \mapsto -$ , d.h. der Flächeninhalt ist für $c = 2$ maximal.
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Betrachtet werden für $k \in ℝ$ die in $] - \infty; 0]$ definierten Funktionen
$f_{k} : x \mapsto f (x) + k$ . Somit gilt $f_{0} (x) = f (x)$ wobei sich $f_{0}$ und $f$ im Definitionsbereich unterscheiden.
Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von $f_{k}$ , dass $f_{k}$ für jeden Wert von $k$ umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von $f_{0} .$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Erste Ableitung von $f_{k}$
$f_{k} (x) = 2 e^{- \frac{1}{8} x^{2}} + k$
Berechne die erste Ableitung von $f_{k} (x)$ . Beachte die Kettenregel.
$f_{k}^{'} (x) = 2 e^{- \frac{1}{8} x^{2}} \cdot (- \frac{1}{8} \cdot 2 x)$
$f_{k}^{'} (x) = - \frac{1}{2} x e^{- \frac{1}{8} x^{2}}$
Für alle $x \in] - \infty; 0 [$ ist $f_{k}^{'} (x) > 0$
Lediglich für $x = 0$ ist $f_{k}^{'} (0) = 0$ .
Die singulären Nullstellen der Ableitung verhindern die strenge Monotonie nicht. Die Funktion ist streng monoton steigend und damit für jeden Wert von $k$ umkehrbar im Definitionsbereich $] - \infty; 0]$ .
Für die Zeichnung der Umkehrfunktion $f_{0}^{- 1} (x)$ ist es hilfreich, die Winkelhalbierende $y = x$ einzuzeichnen.
Der Graph von $G_{f}$ wird dann für $x \in] - \infty; 0]$ an der Winkelhalbierenden gespiegelt.
Man markiert einige Punkte auf dem Graphen von $f_{0}$ und spiegelt diese dann an der Winkelhalbierenden (und verbindet diese Punkte entsprechend).
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Geben Sie alle Werte von $k$ an, für die der Graph von $f_{k}$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_{k}$ keinen gemeinsamen Punkt haben. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Überlegungen zur Lösung
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.
Die Graphen von $f_{k} (x)$ verlaufen entweder nur im II. Quadranten (oder im II. und III. Quadranten) oberhalb der 1. Winkelhalbierenden.
Die Umkehrfunktionen $f_{k}^{- 1} (x)$ verlaufen nur im IV. (oder im III. und IV. Quadranten) unterhalb der 1. Winkelhalbierenden.
Die beiden Funktionen können sich also nicht schneiden, außer sie schneiden die 1. Winkelhalbierende selbst.
Wann schneiden die Graphen die 1. Winkelhalbierende?
Für diesen Schnittpunkt muss $f_{k} (0) \leq 0$ sein.
$\Rightarrow f_{k} (0) = 2 + k \leq 0 \Rightarrow k \leq - 2$
In der Aufgabe war aber gefragt, wann der Graph von $f_{k}$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_{k}$ keinen gemeinsamen Punkt haben. Das ist für alle Werte von $k > - 2$ der Fall.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Zwei ausgewählte Beispiele:
$f_{- 1} (x)$ und die Umkehrfunktion $f_{- 1}^{- 1} (x)$ schneiden sich nicht.
$f_{- 2} (x)$ und die Umkehrfunktion $f_{- 2}^{- 1} (x)$ schneiden sich im Punkt $A (0 | 0)$ .
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$1$	$=$	$2 e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$	$: 2$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$\frac{1}{2}$	$=$	$e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$	$\ln$
$\ln (\frac{1}{2})$	$=$	$- \frac{1}{8} c^{2}$	$\cdot (- 8)$
$- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})$	$=$	$c^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\pm \sqrt{- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})}$	$=$	$c$
	↓	Wegen $c \in ℝ^{+}$ entfällt die negative Wurzel.
$\sqrt{- 8 \cdot \ln (\frac{1}{2})}$	$=$	$c$

$A^{'} (c)$	$=$	$4 \cdot (1 \cdot e^{- \frac{1}{8} c^{2}} + c \cdot e^{- \frac{1}{8} c^{2}} \cdot (- \frac{1}{4} c))$
	↓	Klammere $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ aus und fasse zusammen.
	$=$	$4 e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (1 - \frac{1}{4} c^{2})$
	↓	Multipliziere die $4$ in die Klammer.
	$=$	$e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (4 - c^{2})$

$0$	$=$	$e^{- \frac{1}{8} c^{2}} (4 - c^{2})$	$: e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$
	↓	Da $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ für alle $c$ größer null ist, darf durch $e^{- \frac{1}{8} c^{2}}$ geteilt werden.
$0$	$=$	$4 - c^{2}$	$- c^{2}$
$c^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
$c$	$=$	$\pm 2$
	↓	Wegen $c \in ℝ^{+}$ entfällt die negative Lösung
$c$	$=$	$2$

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Maximaler Flächeninhalt

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Erste Ableitung von fk

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Überlegungen zur Lösung

Wann schneiden die Graphen die 1. Winkelhalbierende?

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Erste Ableitung von $f_{k}$