Es soll $\overline{QR}=1\backslash overline\{QR\}=1$ sein.

Gesucht ist also der Wert von $cc$, für den $f(c)=1f(c)=1$ ist:

$f(c)=2e^{-\frac{1}{8}{c}^2}f(c)=2e^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}c^2\}$ und $f(c)=1f(c)=1$

Für $c=\sqrt{-8\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}\approx \mathrm{2,35}c=\backslash sqrt\{-8\backslash cdot\backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\backslash approx\; 2\{,\}35$ ist $\overline{QR}=1\backslash overline\{QR\}=1$.

Hinweis: je nach Rechenweg sind (z.B. wegen $\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)\backslash ln\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)=-\backslash ln\; (2)$ auch andere Darstellungen von $cc$ möglich:

$c=\sqrt{-8\cdot \ln \left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{-8\cdot (-\ln (2))}=\sqrt{8\cdot \ln (2)}=2\sqrt{2\cdot \ln (2)}=2\sqrt{\ln (4)}c=\backslash sqrt\{-8\backslash cdot\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}=\backslash sqrt\{-8\backslash cdot\; (-\backslash ln(2))\}=\backslash sqrt\{8\backslash cdot\backslash ln(2)\}=2\backslash sqrt\{2\backslash cdot\backslash ln(2)\}=2\backslash sqrt\{\backslash ln(4)\}$ u.s.w.

Maximaler Flächeninhalt

Berechne $A^{\mathrm{\prime }}(c)A\text{'}(c)$ und setze $A^{\mathrm{\prime }}(c)=0A\text{'}(c)=0$, beachte die Kettenregel:

Es ist $A^{\mathrm{\prime }}(c)=e^{-\frac{1}{8}{c}^2}(4-c^2)A\text{'}(c)=e^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}c^2\}\backslash left(4-c^2\backslash right)$. Setze nun $A^{\mathrm{\prime }}(c)=0A\text{'}(c)=0$.

Es bleibt zu prüfen, ob ein Maximum vorliegt.

Hier kann entweder berechnet werden, ob ist oder ob es an der Stelle $c=2c=2$ einen Vorzeichenwechsel von $A^{\mathrm{\prime }}(c)A\text{'}(c)$ gibt.

Hier wird der zweite Weg beschritten.

$A^{\mathrm{\prime }}(1)=e^{-\frac{1}{8}{1}^2}(4-1^2)=e^{-\frac{1}{8}}\cdot 3>0A\text{'}(1)=e^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}1^2\}\backslash left(4-1^2\backslash right)=e^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}\}\backslash cdot\; 3>0$

Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von $A^{\mathrm{\prime }}(c)A\text{'}(c)$ an der Stelle $c=2c=2$ von $+\mapsto -+\; \backslash mapsto\; -$, d.h. der Flächeninhalt ist für $c=2c=2$ maximal.

Erste Ableitung von $f_{k}f\_k$

$f_k(x)=2e^{-\frac{1}{8}{x}^2}+kf\_k(x)=2e^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}x^2\}+k$

Berechne die erste Ableitung von $f_k(x)f\_k(x)$. Beachte die Kettenregel.

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{-\frac{1}{8}{x}^2}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot 2x)f\_k\text{'}(x)=2e^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}x^2\}\backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{8\}\backslash cdot\; 2x\backslash right)$

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x{e}^{-\frac{1}{8}{x}^2}f\_k\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}xe^\{-\backslash frac\{1\}\{8\}x^2\}$

Für alle $x\in ]-\mathrm{\infty };0[x\backslash in\; ]-\; \backslash infty;0[$ ist $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\_k\text{'}(x)>0$

Lediglich für $x=0x=0$ ist $f_k^{\mathrm{\prime }}(0)=0f\_k\text{'}(0)=0$.

Die singulären Nullstellen der Ableitung verhindern die strenge Monotonie nicht. Die Funktion ist streng monoton steigend und damit für jeden Wert von $kk$ umkehrbar im Definitionsbereich $]-\mathrm{\infty };0]]-\; \backslash infty;0]$.

Für die Zeichnung der Umkehrfunktion $f_0^{-1}(x)f\_0^\{-1\}(x)$ ist es hilfreich, die Winkelhalbierende $y=xy=x$ einzuzeichnen.

Der Graph von $G_{f}G\_f$ wird dann für $x\in ]-\mathrm{\infty };0]x\backslash in\; ]-\backslash infty;0]$ an der Winkelhalbierenden gespiegelt.

Man markiert einige Punkte auf dem Graphen von $f_{0}f\_0$ und spiegelt diese dann an der Winkelhalbierenden (und verbindet diese Punkte entsprechend).

Überlegungen zur Lösung

Die Graphen von $f_k(x)f\_k(x)$ verlaufen entweder nur im II. Quadranten (oder im II. und III. Quadranten) oberhalb der 1. Winkelhalbierenden.

Die Umkehrfunktionen $f_k^{-1}(x)f\_k^\{-1\}(x)$ verlaufen nur im IV. (oder im III. und IV. Quadranten) unterhalb der 1. Winkelhalbierenden.

Die beiden Funktionen können sich also nicht schneiden, außer sie schneiden die 1. Winkelhalbierende selbst.

Wann schneiden die Graphen die 1. Winkelhalbierende?

Für diesen Schnittpunkt muss $f_k(0)\le 0f\_k(0)\backslash le\; 0$ sein.

In der Aufgabe war aber gefragt, wann der Graph von $f_{k}f\_k$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_{k}f\_k$ keinen gemeinsamen Punkt haben. Das ist für alle Werte von $k>-2k>-2$ der Fall.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Zwei ausgewählte Beispiele:

$f_{-1}(x)f\_\{-1\}(x)$ und die Umkehrfunktion $f_{-1}^{-1}(x)f\_\{-1\}^\{-1\}(x)$ schneiden sich nicht.

$f_{-2}(x)f\_\{-2\}(x)$ und die Umkehrfunktion $f_{-2}^{-1}(x)f\_\{-2\}^\{-1\}(x)$ schneiden sich im Punkt $A(0\mathrm{\mid }0)A(0|0)$.