Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Es gibt zwei Methoden, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln:

  1. durch Erweitern bzw. Kürzen

  2. durch schriftliches Dividieren

Vergleich der Methoden

Erweitern bzw. Kürzen

Schriftliches Dividieren

Vorteil

meist schneller

funktioniert immer

Nachteil

funktioniert nur bei Brüchen, die auf 10er, 100er, 1000er im Nenner erweiter- oder kürzbar sind

oft zeitaufwändiger

Umrechnung durch Erweitern bzw. Kürzen

Durch Erweitern oder Kürzen lassen sich Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner

Wenn ein Bruch eine Zehnerpotenz (10,100,1000,10, 100, 1000,…) im Nenner hat, ist es ganz einfach, ihn als Dezimalzahl zu schreiben.

Beispiel
  • Schreibe den Bruch als Summe.

  • Kürze die Summanden so.

Zerlege den Zähler.

23751000\displaystyle \frac{2375}{1000}==2000+300+70+51000\displaystyle \frac{2000+300+70+5}{1000}

Schreibe den Bruch als Summe.

==20001000+3001000+701000+51000\displaystyle \frac{2000}{1000}+\frac{300}{1000}+\frac{70}{1000}+\frac{5}{1000}

Kürze die Brüche.

==21+310+7100+51000\displaystyle \frac{2}{1}+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{5}{1000}

Schließlich kann man die Werte so in die Stellenwerttabelle eintragen:

Wir erhalten: 23751000=2,375\dfrac{2375}{1000} = 2{,}375

Bruch mit beliebigem Nenner

Wenn im Nenner keine Zehnerpotenz steht, kann man manche Brüche so erweitern oder kürzen, dass man eine Zehnerpotenz erhält.

Beachte

Beim Erweitern funktioniert das nur, wenn im Nenner ein Produkt aus den Zahlen 2 und/oder 5 steht.

Beispiele für Nenner:

4=224=2\cdot2

125=555125=5\cdot5\cdot5

20=22520=2\cdot2\cdot5

Beispiel
  • Überprüfe, ob der Nenner ein Produkt aus 22 und/oder 55 ist.

  • Erweitere so, dass eine Zehnerpotenz im Nenner steht.

1988=222\frac{19}{8}\rightarrow 8=2\cdot 2\cdot 2

198\displaystyle \frac{19}{8}==19 555222555\displaystyle \frac{19\ \cdot5\cdot5\cdot5}{2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5}
==19125(25)(25)(25)\displaystyle \frac{19\cdot125}{\left(2\cdot5\right)\cdot\left(2\cdot5\right)\cdot\left(2\cdot5\right)}
==2375101010\displaystyle \frac{2375}{10\cdot10\cdot10}
==23751000\displaystyle \frac{2375}{1000}

Ab hier kannst du wie im Beispiel zuvor weiterrechnen und erhältst: 198=2,375\frac{19}{8}=2{,}375

Umrechnen durch schriftliches Dividieren

Es gibt auch Brüche, die man nicht so erweitern oder kürzen kann, dass eine Zehnerpotenz im Nenner steht wie zum Beispiel 53\frac{5}{3}.

In jedem Fall kann man die Dezimalzahl durch schriftliches Dividieren erhalten.

Division mit endlichem Ergebnis

Beachte

Wenn man vollständig gekürzte Brüche mit einem Produkt aus 22 und/oder 55 im Nenner hat, erhält man als Ergebnis der schriftlichen Division eine endliche Dezimalzahl.

Beispiel

165=16:5\frac{16}{5}=16:5

Dividiere schriftlich:

16:5=315110\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&16 : 5 = 3 \\-&\underline{15}& \\& \hphantom{1}10& \end{array}

Die 55 passt dreimal in die 1616, es bleibt Rest 11.

Berechne 353\cdot5 und ziehe das Ergebnis von 1616 ab.

1615=116-15=1\mathrm{ }

16:5=3,2141101100\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&16 : 5 = 3{,}2 \\-&\underline{14} \\& \hphantom{1}10 \\-& \underline{\hphantom{1}{10}} \\&\hphantom{…}0\end{array}

Die 55 passt zweimal in die 1010, also notiere 22 als erste Stelle hinter dem Komma. Es bleibt kein Rest.

Insgesamt erhält man:

Division mit periodischem Ergebnis

Wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches noch andere Primteiler als 22 oder 55 enthält (z.B. den Faktor 3 oder 7), erhält man eine periodische Dezimalzahl als Ergebnis der Division.

Beispiel

176=17:6\frac{17}{6}=17:6

Dividiere schriftlich

17:6=2,8333...1215014820118112011181111201111811111201111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&17 : 6 = 2 , 8333... \\-&\underline{12} \\& \hphantom{1}50 \\-& \underline{\hphantom{1}{48}} \\&\hphantom{…}20\\&-\underline{\hphantom{1}18}\\&\hphantom{- 11}20\\&\hphantom{1}-\underline{\hphantom{1}18}\\&\hphantom{- 1111}20\\&\hphantom{11}-\underline{\hphantom{1}18}\\&\hphantom{- 11111}20\\&\hphantom{1111111}...\end{array}

Man merkt, dass sich die schriftliche Division an einer Stelle nun nur noch wiederholt. Es entsteht nur noch der Rest 2 und durch Erweitern auf 20 ist diese Zahl durch 18 teilbar, was 36\textcolor{orange}{3}\cdot6 entspricht. Daher ist 33 unsere Periode.

Man schreibt 17:6=2,8317:6=2{,}8\overline{3} und sagt "zwei Komma acht Periode drei".

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Umwandeln von Brüchen und Dezimalbrüchen


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