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Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(610) und Q(45)P\left(−6\vert10\right)\ \text{und}\ Q\left(4|−5\right).

Sie hat eine Gleichung der Form y=0,25x2+bx +c mit G=R×Ry=0{,}25x^2+bx\ +c\ \text{mit}\ \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} und b,cb, c R\in \mathbb{R}.

Die Gerade gg besitzt die Gleichung y=0,5x+1 mit G=R×R.\text{y}= −0{,}5x + 1 \ \text{mit}\ \mathbb{G} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}.

  1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,25x2x5y=0{,}25x^2 − x − 5 besitzt.

    Zeichnen Sie sodann die Parabel pp und die Gerade gg für x [5;7]x\ \in \left[−5;7\right] in ein Koordinatensystem.

    Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 5x7;7y7−5\leq x \leq 7 ; −7\leq y \leq 7.

  2. Punkte An(x0,25x2  x  5)A_n(x|0{,}25x^2\ −\ x\ −\ 5) auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,5x+1C_n(x|-0{,}5x+1) auf der Geraden gg haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten BnB_n auf der Geraden gg und Punkten DnD_n für x ]4;6[\ x\in\ ]−4;6[ Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit der Geraden AnCnA_nC_n als Symmetrieachse. Der Abstand der Punkte BnB_n von der Geraden AnCnA_nC_n beträgt 22 LE.

    Zeichnen Sie die Drachenvierecke A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2x=−2 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=3x=3 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

  3. Geben Sie die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n an.

  4. Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt AA der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n.

    [Teilergebnis: AnCn(x)=(0,25x2 +0,5x +6) LE][\text{Teilergebnis:}\ \overline{A_nC_n}(x)=(−0{,}25x^2\ +0{,}5x\ +6)\ \text{LE}]

  5. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es das Drachenviereck A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0, das die größtmögliche Streckenlänge A0C0\overline{A_0C_0} besitzt. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke [A0C0][A_0C_0] sowie die Koordinaten des Punktes B0B_0.

  6. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Drachenvierecke A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4, für die gilt: AnCn=1,5BnDn\overline{A_nC_n}=1{,}5\cdot \overline {B_nD_n}. Berechnen Sie die xx-Koordinaten der Punkte A3A_3 und A4A_4.

  7. Begründen Sie, dass das Maß der Winkel CnBnDnC_nB_nD_n für alle Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gleich ist.