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Das gleichschenklige Trapez ABCDABCD hat die parallelen Seiten [AD][AD] und [BC][BC]. Der Mittelpunkt der Seite [AD][AD] ist der Punkt KK, der Mittelpunkt der Seite [BC][BC] ist der Punkt LL. Das Trapez ABCDABCD ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGHABCDEFGH (siehe Skizze). Der Punkt EE liegt senkrecht über dem Punkt AA.

Es gilt: AD=8 cm\overline{AD}=8~cm; BC=12 cm\overline{BC}=12~cm; KL=6 cm\overline{KL}=6~cm; AE=7 cm\overline{AE}=7~cm

  1. Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH, wobei [KL][KL] auf der Schrägbildachse und der Punkt KK links vom Punkt LL liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45q=\frac12;\quad\omega=45^\circ.

  2. Der Mittelpunkt der Kante [EH][EH] ist der Punkt MM, der Mittelpunkt der Kante [FG][FG] ist der Punkt NN. Für den Punkt SS auf [MN][MN] gilt: SN=2 cm\overline{SN}=2~cm.

    Punkte PnP_n auf [KS][KS] bilden zusammen mit den Punkten KK und LL die Dreiecke KLPnKLP_n. Die Winkel PnLKP_nLK haben das Maß φ\varphi mit φ]0;74,05].\varphi\in]0^\circ;74{,}05^\circ].

    Zeichnen Sie die Strecke [MN][MN], den Punkt SS sowie das Dreieck KLP1KLP_1 für φ=45\varphi=45^\circ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung (a) ein.

    Bestätigen Sie rechnerisch, dass der Winkel LKSLKS das Maß 60,2660{,}26^\circ hat.

  3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [LPn][LP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    Geben Sie die minimale Länge der Strecken [LPn][LP_n] an.

  4. Unter den Dreiecken KLPnKLP_n gibt es das gleichschenklige Dreieck KLP2KLP_2 mit der Basis [KP2][KP_2]. Berechnen Sie die Länge der Strecke [KP2][KP_2].

  5. Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPnABCDP_n mit den Höhen [PnTn][P_nT_n] und TnT_n auf der Strecke [KL][KL]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1ABCDP_1 und ihre Höhe [P1T1][P_1T_1] in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

    Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für das Volumen VV der Pyramiden ABCDPnABCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=104,20sinφsin(φ+60,26)V(\varphi)=\dfrac{104{,}20\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+60{,}26^\circ)} cm³.

  6. Die Pyramide BCGFP3BCGFP_3 mit der rechteckigen Grundfläche BCGFBCGF und der Spitze P3P_3 hat dasselbe Volumen wie die Pyramide ABCDP3ABCDP_3.

    Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi.