Wahlteil 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gärtner Gerald schaut sich Blumentöpfe an.

Ein würfelförmiger Blumentopf hat eine Kantenlänge von $13{,}3\ cm$ .

Vervollständige die Abbildung mit den entsprechenden Werten. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel (Kubus)
Vervollständigen der Abbildung mit den entsprechenden Werten.
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Da der Blumentopf die Form eines Würfels hat, sind alle Kanten gleich lang.
Berechne das Volumen des Blumentopfs. (2 BE)

Berechnen des Volumens des Blumentopfs:
Aus der Aufgabenstellung bekannt: $\mathrm{a=13{,}3\ cm}$
$\mathrm{V_{Blumentopf}=(13{,}3\ cm)^3\quad\Rightarrow V_{Blumentopf}=2352{,}64\ cm^3}$
Das Volumen des Blumentopfs beträgt,
gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma: $\mathrm{2352{,}64\ cm^3}$
gerundet auf 1 Stelle nach dem Komma: $\hspace{3.5mm}\mathrm{2352{,}6\ cm^3}$
gerundet auf ganze Zahl: $\hspace{25mm}\mathrm{2353\ cm^3}$
Schreibe einen der Werte in die Lücke.
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Berechne das Volumen des Würfels mit der Formel: $\mathrm{V=a^3}$
Ein anderer zylinderförmiger Blumentopf hat einen Durchmesser von $15 \mathrm{~cm}$ und eine Höhe von $26 \mathrm{~cm}$ .
Berechne von beiden Blumentöpfen die Grundflächen und zeige, dass sie beide etwa $177\ cm^2$ groß sind. (2 BE)
Abbildung nicht maßstabsgerecht

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke, Vierecke, Kreise und andere ebene Figuren
Zur Erinnerung:
Der würfelförmige Blumentopf hat ein Quadrat als Grundfläche.
Der zylinderförmige Blumentopf hat einen Kreis als Grundfläche.
Berechnung der Grundflächen der Blumentöpfe:
$\mathrm{G_{Quadrat}=a^2\quad\Rightarrow{G_{würfelf. Blument.}=(13{,}3\ cm)^2}}$
$\mathrm{G_{würfelf. Blument.}=176{,}89\ cm^2}$
$\mathrm{G_{Kreis}=r^2\cdot \pi\quad\Rightarrow{G_{kreisf. Blument.}=(7{,}5\ cm)^2}\cdot\pi}$
$\mathrm{G_{kreisf. Blument.}\approx176{,}71\ cm^2}$
Die Grundfläche beider Blumentöpfe beträgt etwa : $\mathrm{177\ cm^2}$
Anmerkung:
Hier wurde für $\large{\pi}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert,
wenn du mit ${\large{\pi}}=3{,}14$ rechnest bekommst du für $\mathrm{G_{kreisf. Blument.}}$ einen
geringfügig abweichenden Wert heraus.
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Zeichne das Netz des zylinderförmigen Blumentopfes im Maßstab $1 : 5$ .
Berechne dazu zuerst den Umfang. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Berechnen des Kreisumfangs:
Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$\mathrm{U=d\cdot\pi\quad\Rightarrow U=15\ cm\cdot\pi}$
$\mathrm{U\approx 47{,}12\ cm}$
Schreibe den Wert in die Lücke.
Anmerkung:
Hier wurde für $\large{\pi}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert,
wenn du mit ${\large{\pi}}=3{,}14$ rechnest bekommst du einen geringfügig
abweichenden Wert heraus.
Das Netz des Zylinders ist hier verkleinert dargestellt.
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Der zylinderförmige Blumentopf ist von außen lackiert.
Berechne die Größe der lackierten Fläche. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenformeln
Berechnen der Oberfläche des zylinderförmigen Blumentopfs:
$\mathrm{O_{Blumentopf}=d\cdot\pi\cdot h+r^2\cdot\pi\qquad d=15\ cm\quad r=7{,}5\ cm;\quad h=26\ cm}$
$\mathrm{O_{Blumentopf}=15\cdot\pi\cdot 26+7{,}5^2\cdot\pi\ [cm^2]}$
$\mathrm{O_{Blumentopf}=446{,}25\cdot\pi\ [cm^2]}$
$\mathrm{O_{Blumentopf}=1401{,}94\ cm^2}$

Die lakierte Fläche beträgt etwa $\boxed{\mathrm{1402\ cm^2}}.$
Schreibe den Wert in die Lücke.
Anmerkung:
Hier wurde für $\large{\pi}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert,
wenn du mit ${\large{\pi}}=3{,}14$ rechnest bekommst du einen
geringfügig abweichenden Wert heraus.
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Die Oberfläche des zylinderförmigen Blumentopfs setzt sich zusammen aus einem Rechteck und einem Kreis.
Berechne die Flächeninhalte von Rechteck und Kreis und addiere sie.
Berechne, wie viel Erde in den zylinderförmigen Blumentopf passt.
Gib dein Ergebnis auch in Litern an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnen des Volumens des zylinderförmigen Blumentops:
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
$\mathrm{V=G\cdot h\ ;\qquad G=r^2\cdot\pi}$
$\mathrm{V=7{,}5^2\cdot\pi\cdot 26\ [cm^3]\quad\Rightarrow V=4594{,}58\ cm^3}$
umrechnen in $\mathrm{{l}\quad\hspace{11mm}{\Rightarrow V=4{,}6\ l}}$
In den zylinderförmigen Blumentopf passen ca. $\boxed{\mathrm{4595\ cm^3}}$ Erde.
Das sind ca. $\boxed{\mathrm{4{,}6\ l}}.$
Schreibe die beiden Werte in die Lücke.
Anmerkung:
Hier wurde für $\large{\pi}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert,
wenn du mit ${\large{\pi}}=3{,}14$ rechnest bekommst du einen
geringfügig abweichenden Wert heraus.
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Berechne das Volumen des zylinderförmigen Blumentopfs.
Rechne auch die Volumeneinheit $\mathrm{cm^3}$ in die Volumeneinheit $\text{l}$ um.
Dirk füllt 3 Liter Erde in den zylinderförmigen Blumentopf.
Berechne, zu wie viel Prozent der Blumentopf gefüllt ist. (2 BE)
(Wenn du e) nicht gelöst hast, verwende $V=4574{,}6 \mathrm{~cm}^{3}$ .)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Berechnen des Prozentsatzes $\text{p}:$
$\mathrm{p=\dfrac{W}{G}\quad\Rightarrow p=\dfrac{3}{4{,}6}}$
$\mathrm{p\approx0{,}65\quad\Rightarrow p=65\ \%}$
Der Blumentopf ist zu $\boxed{65\ \%}$ mit Erde gefüllt.
Schreibe den Wert in die Lücke.
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Die Formel zur Berechnung des Prozentsatz $\text{p}$ lautet: $\ \mathrm{p =\dfrac{W}{G}}$
Aus Teilaufgabe $\mathrm{5.f)}$ ist das Volumen des zylinderförmigen Blumentopfs bekannt, das entspricht dem Grundwert $\text{G}$ . Dem Prozentwert $\text{W}$ entsprechen die $3$ Liter Erde.
Berechne, wie hoch der Topf mit Erde gefüllt ist. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnen der Höhe h des Blumentopfs
$\mathrm{V=G\cdot h\quad\Rightarrow h=\dfrac{V}{G}}$
$\mathrm{ V=3\ l}\quad$ $3$ Liter entsprechen $\mathrm{3000\ cm^3}$
$\mathrm{G=7{,}5^2\cdot\pi}$
Einsetzen der Werte in die Formel:
$\mathrm{h=\dfrac{3000}{56{,}25\cdot\pi}\quad\Rightarrow h=16{,}98\ cm}$
Der Blumentopf ist bis zu einer Höhe von $\mathrm{16{,}98\ cm}$ mit Erde gefüllt.
Schreibe den Wert $\textbf{16{,}98}$ oder den auf eine ganze Zahl gerundeten Wert $\textbf{17}$ in die Lücke.
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Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
$\hspace{40mm}\boxed{\mathrm{V=G\cdot h}}$
löse die Formel nach $\text{h}$ auf und berechne die Höhe des Blumentopfs.
Dirk: „Die Grundflächen beider Blumentöpfe sind gleich groß.“
Gerald: „Wenn du in beide Blumentöpfe 3 Liter Erde füllst, sind beide Töpfe gleich hoch gefüllt.“
Entscheide begründet, ob Gerald recht hat. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln
Die Formel zur Berechnung der Volumen des würfelförmigen Blumentopf
und des kreisförmigen Blumentopfs lautet: $\quad \mathrm{V=G\cdot h\quad\Rightarrow{h=\dfrac{V}{G}}}$
Begründung:
Die Füllhöhe kann für beide Blumentöpfe mit $\boxed{\mathrm{h=\dfrac{V}{G}}}$ berechnet werden.
Da die Volumen und die Grundflächen bei beiden Blumentöpfen gleich sind, müssen auch die Füllhöhen bei beiden Blumentöpfen gleich sein.
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Vergleiche die Grundflächen und die Volumen der beiden Blumentöpfe.

Aufgabe 5

Vervollständigen der Abbildung mit den entsprechenden Werten.

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Berechnen des Volumens des Blumentopfs:

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Berechnung der Grundflächen der Blumentöpfe:

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Berechnen des Kreisumfangs:

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Berechnen der Oberfläche des zylinderförmigen Blumentopfs:

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Berechnen des Volumens des zylinderförmigen Blumentops:

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Berechnen des Prozentsatzes p:\text{p}:p:

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Berechnen der Höhe h des Blumentopfs

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Begründung:

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Berechnen des Prozentsatzes $\text{p}:$