Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe P4

Gegeben sind der Punkt $P (- 1 ∣ 7 ∣ 2)$ und die Ebene $E: x_{1}+3 x_{2}=0$ .

Zeigen Sie, dass der Punkt $P$ nicht in $E$ liegt. (1 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, der entsteht, wenn $P$ an $E$ gespiegelt wird.

(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

Lösungsvorschlag

Hilfsgerade $h$

Die Hilfsgerade, die senkrecht zu $E$ und durch $P$ verläuft, hat die Parameterform:

$h:~\vec{x}=\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}}_{=\overrightarrow{OP}}+t\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}_{=\overrightarrow{n}~\text{(Normalenvektor von E)}}\quad,t\in\mathbb{R}$

Schnittpunkt $S$

Die Hilfsgerade $h$ schneidet die Ebene $E$ .

Du bestimmst schrittweise den Schnittpunkt der Gerade mit einer Ebene, wenn du die Zeilen der Geradengleichung in die Ebene einsetzt.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x_1+3x_2$
	↓	$x_1=-1+t\\x_2=7+3t$
	$=$	$\displaystyle (-1+t)+3\cdot(7+3t)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -1+t+21+9t$
	$=$	$\displaystyle 10t+20$	$\displaystyle -20$
	↓	Gleichung nach $t$ umstellen
$\displaystyle -20$	$=$	$\displaystyle 10t$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -2$

Du erhältst einen Wert t, mit dem der Richtungsvektor der Gerade multipliziert werden kann, um den Schnittpunkt S anzugeben:

Der Schnittpunkt hat damit den Ortsvektor: $\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$

Addiere $\overrightarrow{OS}$ und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PS}$

Verschiebe um — Verschiebe $\overrightarrow{OS}$ um $\overrightarrow{PS}$

Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PS}$ ist: $\overrightarrow{PS} =\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-6\\0\end{pmatrix}$

Addiere $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ für den Spiegelpunkt:

$\displaystyle \overrightarrow{OP'}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-2\\-6\\0\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-5\\-5\\2\end{pmatrix}$

Der gespiegelte Punkt hat die Koordinaten: $P'(-5\mid-5\mid 2)$

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$\displaystyle x_1+3x_2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle -1+3\cdot 7$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle 20$	$\neq ≠$	$\displaystyle 0$