Vierfeldertafel

A: „Die Person nutzt das Internet.“

B: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

Dann ist gegeben:

$P(A)=88\;\%$ und $P(A\cap B)=17\;\%$

$\Rightarrow\;P(\overline{B}\cap A)=88\;\%-17\;\%=71\;\%$

Weiterhin ist $P(B)=\dfrac{16{,}4\cdot 10^6}{60{,}7\cdot 10^6}\approx27\;\%$.

Dann ist $P(\overline{B})=1-P(B)=73\;\%$.

$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=27\;\%-17\;\%=10\;\%$

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{B})-P(A\cap \overline{B})=73\;\%-71\;\%=2\;\%$

$P(\overline{A})=P(\overline{A}\cap B)+P(\overline{A}\cap \overline{B})=10\;\%+2\;\%=12\;\%$

Das ergibt folgende Vierfeldertafel:

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

Es gilt zum Beispiel: $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{17\;\%}{27\;\%}\approx63\;\%$

Andererseits ist aber $P(A)=88\;\%$.

Da $P_B(A)\neq P(A)\;\Rightarrow\;A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.

Ereignis „⁣$\bar{A}$ und $B$" im Sachzusammenhang

$\overline{A}$: „Die Person nutzt kein Internet.“

$B$: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

Dann ist „⁣$\overline{A}$ und $B$": Die Person ist mindestens 65 Jahre alt und nutzt das Internet nicht.

Ausgewählte Person ist jünger als 65 Jahre und nutzt das Internet

A: „Die Person nutzt das Internet.“

$\overline{B}$: „Die Person ist jünger als 65 Jahre.“

$P(A\cap \overline{B})=71\;\%$ und $P(\overline{B})=73\;\%$ (siehe Vierfeldertafel)

Dann ist $P_{\overline{B}}(A)=\dfrac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}=\dfrac{71\;\%}{73\;\%}\approx97\;\%$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt rund $97\;\%$.

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10 \%$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht

Es ist $X$: die Anzahl derjenigen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen

Dabei ist $X$binomialverteilt mit $p= 0{,}72$ und $n= 150$.

Der Erwartungswert beträgt: $\mu=n\cdot p=150\cdot 0{,}72=108$

$10\;\%$ vom Erwartungswert: $0{,}1\cdot 108=10{,}8$

Dann ist $\mu-10\;\%$ von $\mu=108-10{,}8=97{,}2$ und $\mu+10\;\%$ von $\mu=108+10{,}8=118{,}8$

Das genaue Intervall um den Erwartungswert ist $[97{,}2;118{,}8]$. Da es nur ganze Personen gibt, müssen die Werte auf jeden Fall gerundet werden. Das Intervall wird kleiner gerundet $[98;118],$ da die Werte $97$ bzw. $119$ um mehr als $10\;\%$ vom Erwartungswert entfernt sind. Die Vorgabe laut Aufgabenstellung ist "weniger als $10 \%$ ".

Also wird berechnet: $P(98\leq X\leq 118)=\text{binomCdf}(150{,}0.72{,}0,118)-\text{binomCdf}(150{,}0.72{,}0,97)$

$P(98\leq X\leq 118)\approx0{,}9745-0{,}0301\approx0{,}9444$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10 \%$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht, beträgt rund $94\;\%.$

Anzahl der Personen bestimmen

Es ist $P(X>2)=1-P(X\leq 2)>0{,}98\;\Rightarrow\;P(X\leq 2)<0{,}02$

Damit ist $n\geq 8$.

Es müssen mindestens $8$ Personen ausgewählt werden.

Term $\frac{195-(k-w)}{300-k}$ im Sachzusammenhang

Wenn sich im 1. Behälter $k$ Kugeln befinden, dann sind im 2. Behälter $300-k$ Kugeln.

Im 1. Behälter sind $w$ Kugeln weiß. Dann sind im 2. Behälter $105-w$ Kugel weiß.

Die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine weiße Kugel zu ziehen ist:

Die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine schwarze Kugel zu ziehen ist:

Der Term $\dfrac{195-(k-w)}{300-k}$ ist demnach die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine schwarze Kugel zu ziehen.

Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter

I. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $12{,}5\; \%$ sind beide entnommenen Kugeln weiß.

Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus dem 1. Behälter zu ziehen ist $P(w)=\dfrac{w}{k}$ und ebenfalls eine weiße Kugel aus dem 2. Behälter zu ziehen ist $P(w)=\dfrac{105-w}{300-k}$.

Dann gilt:

$P(ww)=\dfrac{w}{k} \cdot\dfrac{105-w}{300-k}=0{,}125$

II. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37{,}5 \;\%$ ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.

Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus dem 1. Behälter zu ziehen ist $P(s)=\dfrac{k-w}{k}$ und eine weiße Kugel aus dem 2. Behälter zu ziehen ist $P(w)=\dfrac{105-w}{300-k}$.

Dann gilt:

$P(sw)=\dfrac{k-w}{k} \cdot\dfrac{105-w}{300-k}=0{,}375$

Es gibt nun ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten $k$ und $w$:

$\mathrm{(I)}: \dfrac{w}{k} \cdot\dfrac{105-w}{300-k}=0{,}125$

$\mathrm{(II)}: \dfrac{k-w}{k} \cdot\dfrac{105-w}{300-k}=0{,}375$

Da beide Gleichungen den Term $\dfrac{105-w}{300-k}$ als Faktor enthalten, kann

Gleichung $\mathrm{(II)}$ durch Gleichung $\mathrm{(I)}$ geteilt werden.

$\Rightarrow\;\dfrac{\dfrac{k-w}{k}}{\dfrac{w}{k}}=\dfrac{0{,}375}{0{,}125}=3\;\Rightarrow\;\dfrac{k-w}{w}=3\;\Rightarrow\;\dfrac{k}{w}-1=3$

$\Rightarrow\;\dfrac{k}{w}=4$ bzw. $k=4w$

Setze $k=4w$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein:

Die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter beträgt $45$.