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Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit fa(x)=xe12ax2+12f_{a}(x)=x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}

mit aRa \in \mathbb{R}. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

  1. Zeigen Sie, dass f1f_{1} genau eine Nullstelle hat.

    Abbildung 1 zeigt den Graphen von f1f_{1} ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

    Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE)

    Bild
  2. Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch: (3 BE)

    Für jede Stammfunktion F1F_{1} von f1f_{1} und für jede reelle Zahl u>2022u>2022 gilt:

    F1(u)F1(0)02022f1(x)dxF_{1}(u)-F_{1}(0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1}(x) d x

  3. Bild

    Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass für f1f_{-1} gilt: (3 BE)

    0,51f1(x)dx=0,51f1(x)dx\displaystyle\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x=\int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x

  4. Für einen Wert von aa liegt der Punkt P(1e)P(1 \mid e) auf dem Graphen von faf_{a}.

    Berechnen Sie für diesen Wert von aa die Größe des Winkels, den der Graph von faf_{a} mit der Parallele zur xx-Achse durch den Punkt PP einschließt. (4 BE)

  5. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a,a1a, a_{1} und a2a_{2} :

    • fa(0)=0f_{a}(0)=0

    • fa(0)=f0(0)f_{a}^{\prime}(0)=f_{0}^{\prime}(0)

    • fa1(x)=fa2(x)f_{a_{1}}(x)=f_{a_{2}}(x) gilt genau dann, wenn a1=a2a_{1}=a_{2} oder x=0x=0 ist.

    Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen jeweils für den Verlauf der Graphen von faf_{a} folgern lässt. (3 BE)

  6. Für alle Werte von a0a \neq 0 stimmen die Wendestellen von faf_{a} mit den Lösungen der Gleichung (ax23)x=0\left(a \cdot x^{2}-3\right) \cdot x=0 überein. Es ist f0(x)=xe12f_{0}(x)=x \cdot e^{\frac{1}{2}}.

    Klassifizieren Sie die Anzahl der Wendestellen von faf_{a} nach dem Wert von aRa \in \mathbb{R}. (7 BE)

  7. Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von a richtig ist:

    Wird der Graph von faf_{a} mit dem gleichen Faktor k>0k>0 sowohl in xx-Richtung als auch in yy-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (3 BE)

  8. Beschreiben Sie die Lage der Punkte (xy)(x \mid y) mit xy<0x \cdot y<0 im Koordinatensystem und begründen Sie, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. (4 BE)

  9. Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.

    Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=xy=x handelt.

    (3 BE)

  10. Für jeden positiven Wert von aa bilden der Hochpunkt ( vvv \mid v ) des Graphen von faf_{a}, der Punkt (02)(0|2), der Koordinatenursprung und der Punkt (v0)(v \mid 0) die Eckpunkte eines Vierecks.

    Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von aa, für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat. (5 BE)