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Aufgabe 1B

Bild

Die Grafik stellt den Schuldenstand Deutschlands in Mrd. Euro jeweils zu Beginn des Jahres ab dem Jahr 1950 dar.

  1. Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2 BE)

  2. Bestimmen Sie zwei geeignete Regressionsfunktionen.

    Beurteilen Sie die von Ihnen gewählten Regressionsfunktionen hinsichtlich ihrer Eignung zur Beschreibung des vorliegenden Sachverhalts. (9 BE)

  3. Bild

    In einem Modell soll der Anstieg des Schuldenstands gestoppt werden und die Schulden sollen abgebaut werden. Zu Beginn des Jahres 2005 beträgt der Schuldenstand in diesem Modell 1490 Mrd. Euro. Die Änderungsrate des Schuldenstands soll ab Beginn des Jahres 2005 durch die Funktion gg mit g(x)=235e0,25x35g(x)=235 \cdot e^{-0{,}25 x}-35, xx in Jahren ab dem Jahr 2005, g(x)g(x) in Mrd. Euro pro Jahr, beschrieben werden. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion gg.

    Begründen Sie, dass der nach diesem Modell erwartete Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 mit dem folgenden Term bestimmt werden kann: (3 BE)

    1490+020g(x)  dx1490+\displaystyle\int_{0}^{20} g(x)\; d x

  4. Skizzieren Sie in das Koordinatensystem den nach diesem Modell ungefähr zu erwartenden Schuldenstand vom Beginn des Jahres 2005 bis zum Jahr 2045. (4 BE)

  5. Berechnen Sie für dieses Modell das Jahr, in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005. (4 BE)

  6. Bestimmen Sie den maximalen Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird. (3 BE)

  7. Unabhängig vom Sachkontext ist die in R\mathbb{R} definierte Funktionenschar hah_{a} mit ha(x)=(1ax)e2ax,aRh_{a}(x)=(1-a \cdot x) \cdot e^{2 \cdot a \cdot x}, a \in \mathbb{R}, gegeben.

    Zeigen Sie für a0a \neq 0, dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von aa ist.

    (4 BE)

  8. Für jeden Wert von aa für a0a \neq 0 wird die Gerade durch den Schnittpunkt mit der xx-Achse und den Hochpunkt des zugehörigen Graphen zu hah_{a} betrachtet.

    Für alle diese Geraden gilt: Sie schneiden sich in einem Punkt auf der yy-Achse.

    Bestimmen Sie die yy-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auch mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen. (6 BE)

  9. Berechnen Sie alle Werte von aa, für die der Graph der Ableitungsfunktion hah_{a}^{\prime} vollständig unterhalb des Graphen der Funktion hah_{a} liegt. (5 BE)