Informationen aus der Aufgabenstellung

Vollständige Tabelle

Die restlichen Werte werden aus den einzelnen Zeilen und Spalten berechnet. Subtrahiere zum Beispiel für das Feld oben links: $20\%-11\%$

Bedingte Wahrscheinlichkeit ermitteln

Zur besseren Übersicht ist hier

• $S$: Eine zufällig ausgewählte Person hat Tarif S

• $H$: Eine zufällig ausgewählte Person hat bei der Servicehotline angerufen

Durch die Formulierung in zwei Sätzen erkennst du, dass es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt. Dabei ist die Bedingung im ersten Satz: Es wurde keine Service Hotline angerufen ($\overline{H}$).

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:

$P_{\overline{H}}(S)=\frac{P(\overline{H}\cap S)}{P(\overline{H})}$

Wir entnehmen die Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle in (a).

• $11~\%$ aller Personen haben Tarif S und die Service-Hotline nicht angerufen.

• $53~\%$ aller Personen haben die Service-Hotline nicht angerufen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person "Tarif S und die Service-Hotline nicht angerufen" hat, beträgt:

Berechnung des Anteils

Aus der Tabelle in (a) entnehmen wir:

• $10{,}5~\%$ haben den Tarif L, aber haben schon angerufen,

• $11~\%$ haben angerufen, aber den Tarif S,

• $27{,}5~\%$ haben angerufen, aber den Tarif M.

Zusammen ergibt das: $10{,}5~\%+11~\%+27{,}5~\%=49~\%$

Beschreibung des Terms

Überlege dir, was die einzelnen Bestandteile des Terms bewirken:

• $80 ~\%$ der befragten haben Tarif M oder Tarif L (siehe Tabelle (a)).

  • Der Term $0{,}8^k$ berechnet also die Teilwahrscheinlichkeit, dass unter den 600 Befragten genau $k$ Personen Tarif L oder M haben.

  • Umgekehrt gibt $0{,}2^{600-k}$ das Gegenstück dazu an: Das ist die Teilwahrscheinlichkeit, dass die übrigen Befragten Tarif S haben.

  • Insgesamt beschreibt der Term nur die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Ergebnisses, bei dem genau k Personen nicht Tarif S haben.

• Der Binomialkoeffizient sorgt dann dafür, dass verschiedene Reihenfolgen berücksichtigt werden, um k Treffer zu erzielen.

• Das Summenzeichen $\Sigma$ bewirkt, dass die Wahrscheinlichkeiten für genau k Treffer im Bereich $470\le k\le 490$ addiert werden. Dabei sind beide Grenzen mit in der Summe enthalten.

Im Sachzusammenhang insgesamt: Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass mindestens 470 und höchstens 490 der Befragten Tarif M oder L haben.

Erwartungswert

Für die Binomialverteilung mit $n=600$ und einer Wahrscheinlichkeit von $p=0{,}2$ für Tarif S ist:

Bereich der Abweichung

Weicht man $5~\%$ von $\mu=120$ ab, beträgt das in Personen:

Somit muss die Wahrscheinlichkeit im Bereich $\underbrace{114}_{120-6}\le X\le \underbrace{126}_{120+6}$ berechnet werden.

Wahrscheinlichkeit für die Abweichung

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(114\le X\le 126)$.

Mit dem Taschenrechner kann die Verteilungsfunktion (oft BinomialCDF) eingestellt werden. Hier lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen durch:

Werte der Verteilungsfunktion

Mit den Parametern $n=600$ und $p=0{,}2$ (für Tarif S) ergibt sich mit der Verteilungsfunktion auf dem Taschenrechner:

• $P(X< \underbrace{111}_{k})=P(X\le 110)=F_{600;0{,}2}(110)\approx 0{,}1662$

• $P(X< \underbrace{112}_{k})=P(X\le 111)=F_{600;0{,}2}(111)\approx 0{,}1935$

• $P(X< \underbrace{113}_{k})=P(X\le 112)=F_{600;0{,}2}(112)\approx 0{,}2232$ $\leftarrow$

• $P(X< \underbrace{114}_{k})=P(X\le 113)=F_{600;0{,}2}(113)\approx 0{,}2553$

Der größtmögliche Wert für $k$ ist $k=113$.

Erwartungswert der Normalverteilung

Die Normalverteilung $\varphi$ hat die Parameter $\mu$ und $\sigma$.

• $\mu$ muss aus einer Gleichung bestimmt werden

• $\sigma=1{,}25~\text{min}$ aus der Aufgabenstellung

Gegeben ist:

Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 5)$

Mit dem berechneten Erwartungswert erhalten wir:

$P(X\ge5)=\int_5^\infty \varphi_{4{,}3;1{,}25}(x)~dx\overset{\text{Taschenrechner}}{\approx} 29~\%$

Überschlag

Die größtmögliche Wahrscheinlichkeit befindet sich im Bereich um den Erwartungswert.

Berechnet man $P(\mu-1\le X\le \mu+1)$ müsste man den größtmöglichen Wert für die Wahrscheinlichkeit erhalten.

Es gilt: $P(\mu-1\le X\le \mu+1)\approx 57{,}6~\%<60~\%$

Selbst wenn man im Intervall mit der größtmöglichen Wahrscheinlichkeit sucht, liegt sie nicht über mindestens $60~\%$.

$\Rightarrow$ Das gesuchte Intervall gibt es nicht.