Aufgaben zur Normalverteilung

10% der Produktion einer Maschine kann nicht weiterverkauft werden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Lieferung von 1000 Stücken nicht mehr als 100 Stücke Ausschuss?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Gesucht ist $P (X \leq 100)$ , wobei n= 1000 und p=0,1 ist.
$μ = 1000 \cdot 0,1$ ist der Erwartungswert.
$σ = \sqrt{σ^{2}} = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}$ ist die Standardabweichung.
Verwende die gegebene Fomel: $P (X \leq k) \approx Φ (\frac{k - μ + 0,5}{σ})$
$P (X \leq 100)$ $\approx$ $Φ (\frac{100 - 1000 \cdot 0,1 + 0,5}{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}})$
$=$ $Φ (0,05)$
↓
Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
$=$ $0,51994$
$\approx$ $52 %$
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Ausschussrate einer Lieferung von 1000 Stück um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

2

Eine Maschine produziert 500 mm lange Schrauben mit einer Standardabweichung von 10 mm. Die Länge der Schrauben kann als normalverteilt angesehen werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer ist als 485 mm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Die Länge der Schrauben ist normalverteilt mit Erwartungswert $μ = 500$ und Standardabweichung $σ = 10$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer ist als 485 mm, also $P (X < 485)$ . Da Randwerte die Wahrscheinlichkeit nicht ändern ist $P (X < 485) = P (X \leq 485)$ .
$P (X \leq k)$ $\approx$ $Φ (\frac{k - μ}{σ})$
↓
Setz die Werte ein.
$P (X \leq 485)$ $\approx$ $Φ (\frac{485 - 500}{10})$
↓
Vereinfache.
$=$ $Φ (- 1,5) = 1 - Φ (1,5)$
↓
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
$\approx$ $1 - 0,93319 = 0,06681$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer als $4,85 cm$ ist, beträgt also etwa $6,7 %$ .
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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube höchstens 501 mm und mindestens 499 mm lang ist.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube nicht verkauft werden kann, also um mehr als 50 mm vom Standardwert (500 mm) abweicht.

3

Für den Ebolavirus wird nach Einschätzung der Statistiker bei 8 % der Bevölkerung eine ärztliche Behandlung notwendig sein. Ein Großhandel möchte für die Apotheken einer Kreisstadt mit 20 000 Einwohnern Behandlungsmaterialien im Voraus bestellen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden maximal 1500 Behandlungsmaterialien benötigt?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 1350 Behandlungsmaterialien benötigt?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zahl der benötigten Behandlungsmaterialien um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

4

Nach einer gängigen Definition gilt ein Haushalt als arm, wenn er über weniger als 50% des bundesweiten Durchschnittseinkommens verfügt.

Wie viel Prozent aller Haushalte gelten als arm, wenn der bundesweite Durchschnitt 3000€ beträgt und die Standardabweichung 1600€?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert $μ = 3000$ und Standardabweichung $σ = 1600$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Einkommen weniger als 1500€ beträgt, also $P (X \leq 1500)$ .
$P (X \leq k)$ $=$ $Φ (\frac{k - μ}{σ})$
↓
Setz die Werte ein.
$P (X \leq 1500)$ $\approx$ $Φ (\frac{1500 - 3000}{1600})$
↓
Vereinfache.
$\approx$ $Φ (- 0,9375)$
$\approx$ $1 - Φ (0,9375)$
↓
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
$\approx$ $1 - 0,8264$
$=$ $0,1736$
Es gelten also etwa 17,36% aller Haushalte als arm.
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Wie hoch ist mindestens das Einkommen der wohlhabendsten 5% Haushalte, wenn das Durchschnittseinkommen 2500€ und die Standardabweichung 1000€ beträgt?

$P (e \leq X)$	$=$	$0,05$
	↓	Nutze die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
$1 - P (X \leq e)$	$=$	$0,05$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
$1 - Φ (\frac{e - μ}{σ})$	$=$	$0,05$
	↓	Setz die Werte ein.
$1 - Φ (\frac{e - 2500}{1000})$	$=$	$0,05$	$- 1 \cdot (- 1)$
	↓	Forme um.
$Φ (\frac{e - 2500}{1000})$	$=$	$0,95$	$Φ^{- 1}$
	↓	Wende die Inverse der Verteilungsfunktion an.
$\frac{e - 2500}{1000}$	$=$	$Φ^{- 1} (0,95)$	$\cdot 1000 + 2500$
	↓	Forme nach $e$ um.
$e$	$=$	$1000 \cdot Φ^{- 1} (0,95) + 2500$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
$e$	$=$	$1000 \cdot 1,645 + 2500$
$e$	$=$	$4145$

$P (X \leq 100)$	$\approx$	$Φ (\frac{100 - 1000 \cdot 0,1 + 0,5}{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}})$
	$=$	$Φ (0,05)$
	↓	Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
	$=$	$0,51994$
	$\approx$	$52 %$

$P (\| X - μ \| \leq σ)$	$=$	$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ)$
	↓	Mit der Formel für die Normalverteilung gilt.
	$\approx$	$Φ (\frac{μ + σ + 0,5 - μ}{σ}) - Φ (\frac{μ - σ - 0,5 - μ}{σ})$
	↓	Vereinfache Merke: $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$
	$=$	$Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - Φ (\frac{- σ - 0,5}{σ})$
	$=$	$Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - (1 - Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}))$
	$=$	$2 \cdot Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - 1$
	$=$	$2 \cdot Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - 1$
	$=$	$2 \cdot Φ (\frac{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9} + 0,5}{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}}) - 1$
	↓	Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
	$=$	$2 \cdot Φ (1,05) - 1$
	$\approx$	$2 \cdot 0,85313 - 1$
	$\approx$	$70,6 %$

$P (X \leq k)$	$\approx$	$Φ (\frac{k - μ}{σ})$
	↓	Setz die Werte ein.
$P (X \leq 485)$	$\approx$	$Φ (\frac{485 - 500}{10})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$Φ (- 1,5) = 1 - Φ (1,5)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$\approx$	$1 - 0,93319 = 0,06681$

$P (l \leq X \leq k)$	$=$	$P (X \leq k) - P (X \leq l)$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
	$\approx$	$Φ (\frac{k - μ}{σ}) - Φ (\frac{l - μ}{σ})$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$Φ (\frac{501 - 500}{10}) - Φ (\frac{499 - 500}{10})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$Φ (0,1) - Φ (- 0,1)$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$Φ (0,1) - (1 - Φ (0,1))$
	↓	Lies die Werte im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$\approx$	$0,53983 - (1 - 0,53983) = 0,07966$
	$\approx$	$0,08$

$P (X \leq l, k \leq X)$	$=$	$P (X \leq l) + P (k \leq X)$
	↓	Schreibe um mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
	$=$	$P (X \leq l) + (1 - P (X \leq k))$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
	$\approx$	$Φ (\frac{l - μ}{σ}) + (1 - Φ (\frac{k - μ}{σ}))$
	↓	Setz die Werte ein.
	$\approx$	$Φ (\frac{450 - 500}{10}) + (1 - Φ (\frac{550 - 500}{10}))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$Φ (- 5) + (1 - Φ (5))$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$(1 - Φ (5)) + (1 - Φ (5))$
	↓	Lies die Werte im Tafelwek der Stochastik ab.
	$\approx$	$(1 - 1) + (1 - 1) = 0$

$P (X \leq k)$	$\approx$	$Φ (\frac{k + 0,5 - μ}{σ})$
	↓	Setz die Werte ein.
$P (X \leq 1500)$	$\approx$	$Φ (\frac{1500 + 0,5 - 1600}{38,37})$
	↓	Vereinfache.
	$\approx$	$Φ (- 2,59)$
	$\approx$	$1 - Φ (2,59)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$\approx$	$1 - 0,99520$
	$\approx$	$0,0048$

$P (X \geq k)$	$=$	$1 - P (X < k)$
	↓	Setz die Werte ein.
	$\approx$	$1 - Φ (\frac{k - 1 + 0,5 - μ}{σ})$
$P (X \geq 1350)$	$=$	$1 - Φ (\frac{1349 + 0,5 - 1600}{38,37})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1 - Φ (- 6,53)$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$1 - (1 - Φ (6,53))$
	$=$	$1 - 1 + Φ (6,53)$
	$=$	$Φ (6,53)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$\approx$	$1$

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