Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P1

Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f (x) = x^{2} - 6 x, x \in ℝ$ .

Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Ableitung der Funktion $f (x)$
$f^{'} (x) = 2 x - 6$
x-Wert des Scheitelpunkts
Wir setzen die Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:
$2 x - 6$ $=$ $0$ $+ 6$
$2 x$ $=$ $6$ $: 2$
$x$ $=$ $3$
$y$ -Wert
Setze den x-Wert in die Funktion ein, um den y-Wert des Scheitels zu bestimmen:
$f (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3$
$= - 9$
Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind damit: $S (3 | - 9)$
Hinweis: Einen anderen Lösungsweg findest du hier
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Leite die Funktion ab.
Setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung, um den x-Wert des Scheitelpunkts zu finden.
Setze den $x$ -Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um den $y$ -Wert zu finden.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im
Punkt $P (- 2 | f (- 2))$ . (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Allgemeine Geradengleichung
$g (x) = m x + b$
$m$ : Steigung
$b$ : $y$ -Achsenabschnitt
Steigung $f^{'} (- 2)$ und y-Wert $f (- 2)$
$f^{'} (x) = 2 x - 6$
$f^{'} (- 2) = 2 \cdot (- 2) - 6 = - 10$
$f (- 2) = (- 2)^{2} - 6 \cdot (- 2) = 16$
Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Steigung $f^{'} (- 2) = - 10$ ist gleich der Steigung $m$ der Tangente:
$g (x) = - 10 x + b$
Um $b$ zu bestimmen, setzen wir den Punkt $P (- 2 | 16)$ ein:
$16$ $=$ $- 10 \cdot (- 2) + b$
$16$ $=$ $20 + b$ $- 20$
$b$ $=$ $- 4$
Die Tangente ist damit: $g (x) = - 10 x - 4$
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Schreibe die allgemeine Geradengleichung $g (x) = m x + b$ auf.
Berechne die Steigung $f^{'} (- 2)$ und die y-Koordinate $f (- 2)$ .
Setze die Steigung für $m$ in die Geradengleichung ein.
Setze den Punkt $P$ in die Geradengleichung ein und bestimme $b$ von der Tangente.

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$16$	$=$	$- 10 \cdot (- 2) + b$
$16$	$=$	$20 + b$	$- 20$
$b$	$=$	$- 4$

$2 x - 6$	$=$	$0$	$+ 6$
$2 x$	$=$	$6$	$: 2$
$x$	$=$	$3$

Aufgabe P1

Ableitung der Funktion f(x)

x-Wert des Scheitelpunkts

y-Wert

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Allgemeine Geradengleichung

Steigung f′(−2) und y-Wert f(−2)

Steigung und y-Achsenabschnitt

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Ableitung der Funktion $f (x)$

$y$ -Wert

Steigung $f^{'} (- 2)$ und y-Wert $f (- 2)$