Symmetrieuntersuchung

Da alle Exponenten gerade sind, kann eine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegen.

Eingeschränkte Definitionsmenge

Um final zu entscheiden, ob eine Symmetrie vorliegt, muss auch die Definitionsmenge passen.

Die Definitionsmenge $D_g=[-3;3]D\_g=[-3;3]$ ist gleichmäßig um den Ursprung verteilt.

Somit liegt tatsächlich eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.

Ableitung bestimmen

Bestimme die Ableitungsfunktion von $g(x)=-\frac{1}{4}{x}^4+2x^{2}g(x)=-\backslash frac\; 1\; 4\; x^4+2x^2$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^3+4xg\text{'}(x)=-x^3+4x$

Nullstellen der Ableitung

Setze die Ableitung mit $00$ gleich:

Nach dem Satz vom Nullprodukt liegt die erste Nullstelle bei $x_1=0x\_1=0$

Untersuche den anderen Faktor weiter:

Die Funktion $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ ist vom Grad 3 und hat maximal 3 Nullstellen. Somit muss jede Nullstelle die Vielfachheit 1 haben, also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel sein.

An allen drei Nullstellen von $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ liegen also Extremstellen von $gg$.