Zeichne $\frac12\vec{b}$ beginnend im Ursprung.

Dann bist du genau im Mittelpunkt des Quadrats $OABC$.

Hänge den Vektor $\vec{d}$ an dessen Spitze.

Die Vektoren $\vec{b}$ und $\overrightarrow{OP}$ können so aufgestellt werden:

$\vec{b}=\begin{pmatrix}a\\a\\0\end{pmatrix}$, wobei $a$ die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist.

$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}a/2\\a/2\\h\end{pmatrix}$, wobei $h=|\vec{d}|$ die Höhe des Quaders bezeichnet

Das Skalarprodukt ist:

$\vec{b}\cdot\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a^2+0\cdot h=a^2$

Dieser Wert hängt nur von $a$, also der Seitenlänge der Grundfläche ab.