Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P5

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte $A, B$ und $D$ . Die Grundfläche $O A B C$ ist quadratisch.

Beschreiben Sie die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ gehört. (1BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$
Um den Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$ zu bestimmen schaut man sich zuerst den Vektor $\vec{b}$ an, der von $O$ bis zum Punkt $B$ verläuft, und subtrahiert dann den Vektor $\vec{a}$ , das heißt wir würden auf den Punkt $C$ landen (da wir den Vektor $\vec{a}$ "rückwärts gehen").
Nun müssen wir aber von dem Vektor $\vec{O C}$ die Hälfte betrachten, da wir ja mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren. Wir können zum Beispiel den Mittelpunkt des Vektors $\vec{O C}$ mit $M$ bezeichnen.
Unser gewünschter Vektor wäre dann $\vec{O M} .$
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Betrachte zuerst den Vektor $(\vec{b} - \vec{a}) .$
Betrachte dann die Hälfte dieses Vektors.
Der Punkt $P$ hat den Ortsvektor $\frac{1}{2} \vec{b} + \vec{d}$ .
Zeichnen Sie $P$ in die Abbildung ein. (1BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
Punkt P
Zeichne $\frac{1}{2} \vec{b}$ beginnend im Ursprung.
Dann bist du genau im Mittelpunkt des Quadrats $O A B C$ .
Hänge den Vektor $\vec{d}$ an dessen Spitze.
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Beginne beim Koordinatenursprung und zeichne $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ ein.
Hänge den Vektor $\vec{d}$ an dessen Spitze an.
Begründen Sie, dass der Wert des Terms $\vec{b} \cdot \vec{O P}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Begründung
Die Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{O P}$ können so aufgestellt werden:
$\vec{b} = (\begin{array}{c} a \\ a \\ 0 \end{array})$ , wobei $a$ die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist.
$\vec{O P} = (\begin{array}{c} a / 2 \\ a / 2 \\ h \end{array})$ , wobei $h = | \vec{d} |$ die Höhe des Quaders bezeichnet
Das Skalarprodukt ist:
$\vec{b} \cdot \vec{O P} = \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2} + 0 \cdot h = a^{2}$
Dieser Wert hängt nur von $a$ , also der Seitenlänge der Grundfläche ab.
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Untersuche das Skalarprodukt der Vektoren.
Verwende, dass die z-Koordinate des Vektors $\vec{b}$ $0$ ist.

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Aufgabe P5

Vektor (b→−a→)

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Punkt P

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Begründung

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Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$