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Kurs

Übersicht zu Vektoren

1 Übersicht

Ziele des Kurses

Dieser Kurs soll einen Überblick zu Vektoren liefern. Zunächst wird geklärt, was ein Vektor ist. Anschließend werden Schritt für Schritt die wichtigsten mathematischen Operationen mit Vektoren erklärt und mit zahlreichen Beispielaufgaben vertieft.

Voraussetzungen

Um Unklarheiten zu vermeiden, sollte man sich bereits mit folgenden Themen gut auskennen:

  • Grundrechenarten

  • Grundlagen der Geometrie

  • 2D- und 3D-Koordinatensystem

  • Lineare Gleichungssysteme

2 Was ist ein Vektor? (1/2)

Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum und wird durch einen Pfeil repräsentiert, dessen Länge und Richtung genau die Länge und Richtung der Verschiebung ist.

Alle Pfeile, die parallel sind, die gleiche Länge haben und in dieselbe Richtung zeigen, repräsentieren denselben Vektor.

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3 Was ist ein Vektor? (2/2)

Darstellung

In der Schule werden schwerpunktmäßig Vektoren aus dem zweidimensionalen und dreidimensionalen Raum betrachtet.

a→=(23){\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}

Vektor a

b→=(235){\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}}

Bild

4 Was ist ein Vektorraum?

Ein Vektorraum VV ist die Menge aller Vektoren mit einer bestimmten Anzahl an Einträgen. Man schreibt V=R2V=\mathbb{R}^2 für die Menge der Vektoren in der Ebene, also v→=(v1v2)∈V\overrightarrow v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\in V und V=R3V=\mathbb{R}^3 für die Menge der Vektoren im Raum, also v→=(v1v2v3)∈V\overrightarrow v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\in V.

5 Vektoren addieren (1/3)

Vektoren addiert man, indem man sie aneinanderhängt. Dabei setzt man den Fuß des einen Vektors an die Spitze des anderen.

Die Summe von zwei Vektoren u und v entspricht also dem Vektor, der entsteht, wenn man vom Ursprung aus zuerst in Richtung u entlang geht und dann in Richtung v.

Bild

6 Vektoren addieren (2/3)

Vorgehensweise

Vektoren addiert man komponentenweise.

Der erste Eintrag des einen Vektors wird mit dem ersten Eintrag des anderen Vektors addiert. Danach der zweite Eintrag des einen mit dem zweiten des anderen und so weiter.

Das heißt, man addiert den n-ten Eintrag des einen Vektors mit dem n-ten Eintrag des anderen.

Beispiel

(245)+(327)=(2+34+25+7)=(5612)\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+3\\4+2\\5+7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\\12\end{pmatrix}

7 Vektoren addieren (3/3)

Bemerkung

Anhand des Bildes sieht man, dass die Addition von Vektoren kommutativ ist. Das heißt, es ist egal, in welcher Reihenfolge man vorgeht.

Bild

8 Vektoren subtrahieren (1/3)

Vektoren subtrahiert man, indem man ihre Spitzen verbindet.

Dabei setzt man für beide Vektoren denselben Fuß, die Spitze des Lösungsvektors ist dann die Spitze des Minuenden, der Fuß des Lösungsvektors ist die Spitze des Subtrahenden.

Die Differenz eines Vektors v von einem Vektor u entspricht also dem Vektor, der entsteht, wenn man vom Ursprung aus zuerst in Richtung u entlang geht und dann in Richtung -v.

Bild

9 Vektoren subtrahieren (2/3)

Vorgehensweise

Vektoren subtrahiert man komponentenweise.

Der erste Eintrag des Lösungsvektors ist die Differenz der ersten Einträge der subtrahierenden Vektoren, der zweite Einträg ist die Differenz der zweiten Einträge und so weiter.

Der n-te Eintrag des Lösungsvektors ist also die Differenz der n-ten Einträge der zu subtrahierenden Vektoren.

Beispiel

(63−4)−(1−72)=(6−13−(−7)−4−2)=(510−6)\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ -7 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-1\\3-(-7)\\-4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\\-6\end{pmatrix}

10 Vektoren subtrahieren (3/3)

Bemerkung

Die Subtraktion von Vektoren ist genauso wie die normale Subtraktion nicht kommutativ, wie das rechte Bild zeigt. Vertauscht man Minuend und Subtrahend, so zeigt der Lösungsvektor in die entgegengesetzte Richtung.

Bild

11 Vektoren mit einem Skalar multiplizieren (1/3)

Durch die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, auch Linearfaktor genannt, wird der Vektor gestaucht oder gestreckt.

Der neue Vektor zeigt anschließend entweder in die gleiche oder in die genau entgegengesetzte Richtung.

Bild

12 Vektoren mit einem Skalar multiplizieren (2/3)

Vorgehensweise

Der Skalar, der immer ein Element aus R\mathbb R sein muss, wird mit jeder Komponente des Vektors multipliziert.

Beispiel

  • 5⋅(12)=(5⋅15⋅2)=(510)5\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot1\\5\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}

  • λ⋅(537)=(λ⋅5λ⋅3λ⋅7)\lambda\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\cdot5\\\lambda\cdot3\\\lambda\cdot7\end{pmatrix}

13 Vektoren mit einem Skalar multiplizieren (3/3)

Bemerkung

Es ist egal, von welcher Seite der Skalar an den Vektor multipliziert wird.

  • λ⋅(34)=(34)⋅λ\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\cdot\lambda

Natürlich kann man auch Skalare aus einem Vektor "rausziehen".

  • (1015)=5⋅(23)\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}=5\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

14 Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren

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15 Linearkombination (1/2)

Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor noch mit einem Skalar (Linearfaktor) multipliziert wird. Das Ergebnis hiervon ist wieder ein Vektor.

Definition

Mit aa, bb und c∈Rc\in\mathbb R und Vektoren v1→,v2→\overrightarrow {v_1}, \overrightarrow{v_2} und v3→\overrightarrow{v_3} ista⋅v1→+b⋅v2→+c⋅v3→=u→a\cdot\overrightarrow {v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow u eine Linearkombination der Vektoren .

16 Linearkombination (2/2)

Beispiel

Mit a=2a=2, b=1,5b=1{,}5, v1→=(10)\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und v2→=(2−2)\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} ist eine Linearkombination

a⋅v1→+b⋅v2→=2⋅(10)+1,5⋅(2−2)=(5−3)a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}=2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+1{,}5\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}.

KursVektoren_Lineakombination

17 Aufgaben zur Linearkombination

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18 Vektor zwischen zwei Punkten berechnen (1/2)

Vorgehensweise

Um den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen muss man den Ortsvektor a⃗\vec a vom Ortsvektor b⃗\vec b subtrahieren.

 

Man schreibt AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a.

 

Dabei hat der Verbindungsvektor die Spitze im Minuend und den Fuß im Subtrahend. Als Merksatz gilt also

Spitze minus Fuß.

19 Vektor zwischen zwei Punkten berechnen (2/2)

Beispiel

Berechne den Verbindungsvektor PQ→\overrightarrow{\text{PQ}} der Punkte P(1;3)\text P(1;3) und Q(3;2)\text Q(3;2).

Der Verbindungsvektor PQ→\overrightarrow{\text{PQ}} wird als Differenzvektor berechnet. Dabei gilt die Regel:

Vorgehen

"Spitze minus Fuß"

PQ→=q⃗−p⃗\overrightarrow{\text{PQ}}=\vec q-\vec p\\

=(32)−(13)=(2−1)=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}

Bild

20 Aufgaben zum Berechnen eines Vektors zwischen zwei Punkten

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21 Länge eines Vektors berechnen (1/3)

Die Länge eines Vektors ist der Abstand zwischen Spitze und Fuß. Die Länge wird auch als Betrag des Vektors bezeichnt. Die Berechnung erfolgt mit dem Satz von Pythagoras.

Die Vektoren in der Abbildung haben alle dieselbe Länge 5.

Bild

22 Länge eines Vektors berechnen (2/3)

Vorgehensweise

Die Länge eines Vektors vv berechnet man mit dem Satz des Pythagoras.

Man quadriert alle Komponenten des Vektors, addiert sie dann und zieht die Wurzel aus der Summe.

Formel

2-Dimensional
3-Dimensional

Für v=(v1v2)v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} gilt

Für v=(v1v2v3)v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} gilt

∣v∣=v12+v22|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

∣v∣=v12+v22+v32|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

23 Länge eines Vektors berechnen (3/3)

Beispiel

Für v=(43)v=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} gilt

∣v∣=32+42=25=5|v|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

Bild

Bemerkung

Multipliziert man einen Vektor vv mit einem Skalar λ\lambda, so wird auch seine Länge mit dem Faktor λ\lambda multipliziert.

Bild

24 Aufgaben zum Berechnen der Länge eines Vektors

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25 Skalarprodukt (1/2)

Das Skalarprodukt ist eine Art der Multiplikation von Vektoren. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl (im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist).

Definition

Um das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b zu berechnen, multipliziert man deren Einträge komponentenweise und addiert die Ergebnisse.

Man schreibt a∘ba\circ b oder ⟨a;b⟩\langle a;b\rangle.

2-dimensional

3-dimensional

a∘b=a1b1+a2b2a\circ b=a_1b_1+a_2b_2

a∘b=a1b1+a2b2+a3b3a\circ b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

26 Skalarprodukt (2/2)

Verwendung des Skalarprodukts

Um Winkel zu berechnen

Um die Länge eines Vektors zu berechnen

Es gilt a∘b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(φ)a\circ b=|a|\cdot|b|\cdot \text{cos}(\varphi)

Dabei ist φ\varphi der Winkel, den beide Vektoren miteinander einschließen.

Durch Umstellen der Gleichung lässt sich also der Winkel berechnen.

Mit Hilfe des Skalarprodukts lässt sich überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

Es gilt a⊥b⇔a∘b=0a\bot b\Leftrightarrow a\circ b=0

Die Länge eines Vektors ist gleich der Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst.

Das heißt ∣a∣=a∘a|a|=\sqrt{a\circ a}.

27 Aufgaben zum Skalarprodukt

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28 Kreuzprodukt (1/3)

Das Kreuzprodukt ist eine Art der Multiplikation von dreidimensionalen Vektoren. Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf den beiden vorigen steht.

Definition

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u→=(u1u2u3)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} und v→=(v1v2v3)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} wird mit ×\times bezeichnet und berechnet sich wie folgt.

u→×v→=(u2v3−u3v2u3v1−u1v3u1v2−u2v1)\overrightarrow u \times\overrightarrow v=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}

29 Kreuzprodukt (2/3)

Beispiel

Für u→=(456)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} und v→=(123)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} ist das Kreuzprodukt

u→×v→=(5⋅3−6⋅26⋅1−4⋅34⋅2−5⋅1)=(3−63)\overrightarrow u\times\overrightarrow v=\begin{pmatrix}5\cdot3-6\cdot2\\6\cdot1-4\cdot3\\4\cdot2-5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}

Vertauscht man die Reihenfolge der Vektoren, so ändert sich das Vorzeichen. In diesem Beispiel also v→×u→=(−36−3)\overrightarrow v\times\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}.

30 Kreuzprodukt (3/3)

Bemerkung

Für das Kreuzprodukt gelten folgende Rechengesetze

  • w→×(u→+v→)=w→×u→+w→×v→\overrightarrow w\times(\overrightarrow u+\overrightarrow v)=\overrightarrow w\times\overrightarrow u+\overrightarrow w\times\overrightarrow v

  • (u→+v→)×w→=u→×w→+v→×w→(\overrightarrow u+\overrightarrow v)\times\overrightarrow w=\overrightarrow u\times\overrightarrow w+\overrightarrow v\times\overrightarrow w

  • u→×v→=−(v→×u→)\overrightarrow u\times\overrightarrow v=-\left(\overrightarrow v\times\overrightarrow u\right)

  • (λ⋅u→)×v→=λ⋅(u→×v→)=u→×(λ⋅v→)\left(\lambda\cdot\overrightarrow u\right)\times\overrightarrow v=\lambda\cdot\left(\overrightarrow u\times\overrightarrow v\right)=\overrightarrow u\times\left(\lambda\cdot\overrightarrow v\right)

31 Aufgaben zum Kreuzprodukt

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32 Winkel zwischen Vektoren berechnen (1/2)

Den Winkel φ\varphi zwischen zwei Vektoren u→\overrightarrow u und v→\overrightarrow v entspricht dem Arkuskosinus vom Skalarprodukt der Vektoren geteilt durch das Produkt ihrer Längen.

WinkelzwischenVektorenberechnen1

Formel

Für zwei Vektoren u→,v→\overrightarrow u, \overrightarrow v lässt sich der eingeschlossene WInkel φ\varphi mit folgender Formel berechnen.

φ=arccos⁡(u→∘v→∣u→∣⋅∣v→∣)\displaystyle \varphi=\arccos\left(\frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left|\overrightarrow u\right|\cdot\left|\overrightarrow v\right|}\right)

33 Winkel zwischen Vektoren berechnen (2/2)

Beispiel

Die Vektoren u→=(11)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} und v→=(10)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} schließen einen Winkel von 45∘45^\circ ein.

WinkelzwischenVektorenberechnen2

φ=arccos⁡(u→∘v→∣u→∣⋅∣v→∣)=arccos⁡(1⋅1+1⋅012+12⋅12+02)=45∘\displaystyle \varphi=\arccos\left(\frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left|\overrightarrow u\right|\cdot\left|\overrightarrow v\right|}\right)=\arccos\left(\frac{1\cdot1+1\cdot0}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2}}\right)=45^\circ

34 Aufgaben zum Berechnen des Winkels zwischen Vektoren

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35 Lineare (Un)abhängigkeit (1/3)

Definition

Für zwei Vektoren

Man nennt zwei Vektoren linear abhängig, wenn sie kollinear sind, das heißt parallel verlaufen. Andernfalls nennt man sie linear unabhängig.

Bild

36 Lineare (Un)abhängigkeit (2/3)

Definition

Für drei Vektoren

Man nennt drei Vektoren linear abhängig, wenn sie komplanar sind, das heißt in einer Ebene liegen. Ist das der Fall, kann man mit ihnen durch Linearkombination eine geschlossene Vektorkette bilden. Andernfalls nennt man sie linear unabhängig.

Bild

37 Lineare (Un)abhängigkeit (3/3)

Allgemeine Definition

Im Allgemeinen nennt man eine Menge von Vektoren linear abhängig, wenn man eine Linearkombination von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial ist (trivial bedeutet hier, dass jeder Vektor mit Null multipliziert wird).

 

Ist das nicht möglich, nennt man die Vektoren linear unabhängig.

38 Aufgaben zur linearen (Un)abhängigkeit

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39 Zusammenfassung

  • Formelsammlung

  • Ausblick/weiterführende Kurse


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