Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes

Berechne $f(1)$:

$f(1)=5\cdot(e^{−0{,}3\cdot 1}−e^{−4\cdot 1})\approx3{,}61$

Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes beträgt rund $3{,}6\; \frac{\text{m g}}{\text{l}}$.

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt

Gegeben ist $f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$.

Berechne $x$ in der Gleichung $2{,}8=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt, ist rund eine viertel Stunde nach der Einnahme.

Wie lange beträgt die Konzentration mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$?

Berechne $x$ in der Gleichung $0{,}5=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$

Die Schnittstellen des Graphen von $f$ mit der Geraden $y=0{,}5$ sind $x_1\approx0{,}029$ und $x_2\approx 7{,}675$. Es ist $x_2-x_1\approx7{,}6$.

Im Bereich $x_1<x<x_2$ ist $f(x)>0{,}5$, d.h. die Konzentration beträgt ungefähr $7{,}6$ Stunden mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$.

Bestimmen Sie $f^{\prime}(0{,}5)$.

Ergebnis: $f'(0{,}5)\approx1{,}4\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$

Interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

Eine halbe Stunde nach der Einnahme nimmt die Konzentration im Blut

momentan um etwa $1{,}4\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ pro Stunde zu.

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt

Der Zeitpunkt $x_1$ der größten Abnahme liegt vor, wenn $f'$ ein Minimum hat.

Berechne $f''(x)=0$:

Die einzige Lösung ist:$x_1=\dfrac{10}{37}\cdot \ln\left(\dfrac{1600}{9}\right)=\dfrac{10}{37}\cdot \ln\left(\dfrac{40}{3}\right)^2=\dfrac{20}{37}\cdot \ln\left(\dfrac{40}{3}\right)\approx1{,}400144$

Der gesuchte Zeitpunkt ist etwa $1{,}4$ Stunden nach der Einnahme.

Wann ist die Konzentration im Blut am größten?

Der Zeitpunkt $x_1$ maximaler Konzentration liegt vor, wenn $f$ ein Maximum hat.

Berechne $f'(x)=0$:

$f'(𝑥) = 0$ hat die einzige Lösung $x_1$ mit $x_1\approx0{,}7$.

Das Medikament sollte optimalerweise $0{,}7+1=1{,}7$ Stunden vor dem Schlafengehen eingenommen werden.

Interpretieren Sie diese Aussage im Sachkontext

Im betrachteten Zeitraum gibt es keinen Zeitpunkt $x$, zu dem die Konzentration

genau halb so groß ist wie eine Stunde davor.

Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration ist so groß wie die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme

Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration im Zeitintervall $[x ; 12]$ ist

$\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}$

Die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme ist $f'(0{,}75)$.

$\Rightarrow\;$ Löse die Gleichung $\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}=f'(0{,}75)$

Eine Lösung dieser Gleichung ist $x_1$ mit $x_1\approx0{,}2$.

Somit gibt es ein solches Zeitintervall.

Die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme

Die Konzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme in $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ ist $f(5)+f(1)$.

Die Konzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme beträgt rund $4{,}7\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$.

Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ nicht übersteigen

Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion $h$ mit $h(x)=f(x)+f(x-4), x\geq 4$ beschrieben.

Berechne $h'(x)=0$:

Das Maximum ($h''(x_E)<0$) hat die y-Koordinate $4{,}98<6$, d.h. die Vorgabe wird eingehalten.

Bestimmen Sie für $z=5$ den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist

Für $z=5$ ist $P(5|f(5)$.

Es ist $t(x)=m\cdot x+b$. Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle $x=5$ und löse die Gleichung $t(x)=0$.

Ungefähr $8{,}3$ Stunden nach der Einnahme des Medikamentes ist die Konzentration null.

Gibt es einen Zeitpunkt $z$, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist

Die Tangentengleichung im Punkt $(𝑧|f(𝑧))$ lautet: $t(x) = f'(z)\cdot (x-z) + f(z)$

Gesucht ist nun $t(6)=0$:

Eine Lösung der Gleichung $t(6)=0$ ist $z_1$ mit $z_1\approx1$.

$z_1$ ist ein solcher Zeitpunkt.